Courbe (géométrie)

“ On donne le nom de courbe méridienne a la courbe génératrice ABCK ; elle a sa symétrique en c~~, et l'ensemble de ces deux courbes représente la section faite dans le corps de révolution par un plan vertical parallèle au tableau et passant par l'axe MN. On appelle plan méridien tout plan qui passe ainsi par l'axe. Il y en a, comme on voit, une infiuité, et ce n'est que pour celui qui est en même temps parallèle au tableau que la courbe méridienne a, dans la perspective, sa véritable forme; c'est pourquoi on se la donne dans ce plan. ”

“ Si la courbe était une hyperbole, le centre de l'arc de cercle serait en B (135) , et OF serait le rayon de cet arc.
Dans le-SECOND CAS, c'est-à-dire lorsque les trois points G, H, K (fig. 160 ) sont en ligne droite, cette ligne KHGY représente le second axe de la courbe, qui est alors une parabole ; et pour avoir le premier axe, il suffit d'abaisser AFX perpendiculaire sur KY. Le quadruplé de AF représente d'ailleurs (273) le paramètre; ainsi la courbe peut être construite facilement. ”

“ J'ai donc démontré qu'une courbe quelconque, plane ou à double courbure, a une infinité de développées , toutes à double courbure , à l'exception d'une seule pour chaque courbe plane, et j'ai donné la manière de trouver les équations de toutes ces développées , d'après celles de la développante, ce que je m'étois d'abord proposé dans ce Mémoire ; ainsi il n'y a point de courbe que l'on ne puisse engendrer par le développement d'une infinité d'autres. ”

“ Six points donnes dans l'espace déterminent une courbe du troisième ordre. — Un cône qui passe par la courbe, et qui a son sommet en un de ses points, est du second ordre. — Lorsque deux droites s'appuient chacune en deux points sur une courbe du troisième ordre, si autour de ces droites on fait tourner deux plans se coupant toujours sur la courbe, ces plans forment deux faisceaux homographiques. ”

“ Une courbe étant ordinairement regardée comme un polygone d'une infinité de côtés infiniment petits que l'on nomme LES ÉLÉMENTS de la courbe, ou comme la trace d'un point qui change à chaque instant de direction, on peut encore dire que la tangente à une courbe est un des élé- ments de cette courbe, prolongé indéfiniment. ”

“ Il nous reste, pour terminer l'étude des surfaces, à considérer celles qui sont courbes sans être réglées et qui ne peuvent être engendrées par la révolution d'une courbe autour d'un axe. Pour nous faire une idée de ces surfaces, il convient d'en examiner une espèce particulière.
Supposons donc une courbe plane quelconque AA'A" (P. XIII, F. 8) , une droite BC tangente à cette courbe et une circonférence qui ait A pour centre, et pour diamètre, DE perpendiculaire à BC ou normale à la courbe AA'A" ”

“ Comme rien n'empêche de porter la distance b de D en M', au lieu de la porter de D en M, il résulte évidemment de la définition précédente, que la courbe cherchée se compose de deux branches distinctes qui s'étendent indéfiniment à droite et à gauche de la perpendiculaire AK abaissée du point A sur LL', et ont pour asymptote commune la droite LL'. ”

“ J. — DIAMÈTRES DANS L'ELLIPSE. — DIAMÈTRES CONJUGUÉS. — CORDES SUPPLÉMENTAIRES ; LEURS RELATIONS AVEC LES DIAMÈTRES CONJUGUÉS.
177. On appelle, en général, DIAMÈTRE d'une courbe, une ligne (droite ou courbe) qui passe par les milieux de toutes les cordes parallèles menées sous une direction quelconque.
De cette définition il résulte nécessairement que toute courbe a une infinité de diamètres dont la nature dépend de la nature de la courbe elle-même. ”

“ Par chacun des points d'une surface courbe quelconque passent toujours deux lignes de courbure qui se coupent à angles droits sur la surface ; et chacune de ces deux lignes est telle, que si, par tous les points , on mène des normales à la surface , ces normales se rencontrent consécutivement deux à deux , c'est-à-dire , sont toutes tangentes à une même courbe qui, en général, est à double courbure, et réciproquement. ”

“ La transformation la plus simple est celle qui a pour objet de passer de l'équation d'une courbe rapportée à un système d'axes rectangulaires ou obliques, à l'équation de la même courbe rapportée à un système d'axes parallèles aux anciens.
Soient AX, AY (fig. 70) deux droites par rapport auxquelles une courbe M'MM" est fixée de position par le moyen de l'équation (1) f (x,y) = 0, et A'X', A'Y' deux autres droites respectivement parallèles aux premières.
Appelons x', y' les nouvelles coordonnées d'un point quelconque M de la courbe ”

“ Supposons que le plan de la courbe tourne d'un mouvement uniforme, qu'en même temps un point M, placé sur la courbe mobile, se meuve sur cette courbe comme si elle était immobile, et que le mouvement de ce point se fasse de manière que ses abscisses croissent uniformément. C'est-à-dire que le mouvement du point, estimé suivant l'axe de rotation, est proportionnel au mouvement de rotation. Le point M décrira ainsi, sur la surface de révolution, une certaine courbe à double courbure. ”

“ On ne saurait avoir trop de moyens différents de décrire une même courbe, parce que chacun exprime une propriété caractéristique de la courbe, d'où dérivent naturellement plusieurs autres propriétés, qui n'apparaissent pas aussi aisément dans les autres modes de description. ”

“ Les normales principales d'une courbe ne peuvent jamais former une surface du second ordre.
Lorsque les normales principales d'une courbe sont en même temps les normales principales de deux autres courbes, elles sont les normales principales d'une infinité de courbes. Toutes ces courbes sont des hélices tracées sur des cylindres concentriques, et leurs normales principales communes sont les génératrices d'un héliçoïde à plan directeur. ”

“ Toute courbe tracée sur la surface d'une sphère , a pour lieu de ses développées la surface d'un cône dont le sommet est au centre de la sphère , et dont la base dépend de la nature de la courbe; car tous les plans perpendiculaires aux élémens de la courbe le sont aussi à la surface sphérique, et passent par conséquent par le centre. ”

“ Nous venons de voir que la surface à laquelle appartient l'équation aux différences partielles , est engendrée par le mouvement d'une courbe plane, dont le plan roule autour d'un cône qui a son sommet à l'origine : ainsi, deux caractéristiques consécutives sur la même surface, se coupent en un point; et le lieu de toutes ces intersections pour la série des caractéristiques d'une même surface, est une courbe , qui est l'arête de rebroussement de la surface. ”

“ Quand la courbe est tracée, il faut qu'elle le soit complétement, c'est-à-dire que toutes ses branches soient décrites, pour que les transversales la rencontrent en autant de points que l'indique le degré de la courbe. Par exemple, si la courbe est une de celles du quatrième degré, appelées ovales de Descartes, il faut connaître sa compagne, seconde ovale, jouissant des mêmes propriétés que la première, non indiquée par la construction que Descartes et d'autres géomètres ont donnée de ces courbes, mais qui est renfermée dans la même équation. ”

“ Pour cela, on construira la courbe déterminée par l'équation ï (*i/) = <>• Cette courbe partagera le plan en plusieurs régions, et il n'y aura plus qu'à chercher celles pour lesquelles la fonction w (x, y) est positive. C'est dans ces régions que devra se trouver le point (x, y) .
Appliquons ces propositions à quelques exemples simples. L'équation A x -t- B y -+- C = o représente une droite. Cette droite sépare le plan en deux régions. Dans l'une de ces régions, la fonction Ax + By + C sera positive ; dans l'autre, elle sera négative. ”

“ Lorsqu'une courbe a un axe et un centre, l'axe passe par le centre; car il divise en deux parties égales la corde menée par le centre perpendiculairement à sa direction.
3. Toute droite menée par le centre d'une ligne courbe se nomme diamètre.
4. On appelle tangente à une ligne courbe, en un point
donné B, la limite BE des positions que prend une sécante BC, lorsqu'on la fait tourner autour du point B de manière qu'un second point d'intersection C se rapproche du premier, jusqu'à se confondre avec lui. ”

“ Nous adopterons la définition suivante : L'intérieur d'une courbe du second degré se compose des points d'où on ne peut lui mener de tangentes. On sait que, dans le cas de l'hyperbole, ces points sont placés à l'intérieur des deux branches.
Il est facile de donner un caractère analytique qui permet de reconnaître si un point est intérieur ou extérieur à la courbe. Pour cela, nous résoudrons la question suivante :
Etant donnée l'équation Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = o, reconnaître si Vorigine des coordonnées est à l'intérieur ou à Vextérieur de la courbe représentée par cette équation. ”

“ Cette équation s'intègre dans trois cas particuliers : 1° lorsque la courbe donnée est plane ; 2° lorsque les génératrices des surfaces développables cherchées coupent sous un angle droit la courbe donnée, auquel cas les arêtes de rebroussement des surfaces développables sont les développées de la courbe; 3° lorsque les génératrices coupent la directrice sous un angle dont la tangente est proportionnelle à- celle de l'angle sous lequel la directrice est coupée par ses droites rectifiantes. ”

“ SOLUTION. Nous avons vu (XVII) que lorsqu'une courbe à double courbure a un point de simple inflexion , ou, ce qui revient au même , que lorsqu'elle devient plane, la partie correspondante de la surface développable , qui est le lieu de ses développées , devient cylindrique , et que par conséquent les deux arêtes consécutives de cette partie de la surface sont parallèles. ”

“ La détermination d'une courbe du second degré, d'après certaines conditions, est, en général, un problème assez difficile à résoudre par l'analyse, à cause de l'embarras que l'on éprouve souvent dans le choix des axes. ”

“ Si le point fixe est le centre de la courbe, l'équation devient
Sa ± Sb = const.
D'où l'on conclut que : Quand un cône de révolution passe par une section conique, la somme ou la différence des arêtes aboutissant aux extrémités d'un diamètre de cette courbe est constante.
Ce sera la somme, si la courbe est une ellipse, et la différence, si elle est une hyperbole. ”

“ On voit, premièrement, qu'à une même valeur de x correspondent deux valeurs de y égales et de signes coutraires; secondement, que, quelque valeur positive ou négative que l'on donne à x, on a toujours pour y des valeurs réelles. Ainsi l'on est déjà certain que la ligne demandée, qui est encore ici une courbe, s'étend indéfiniment au-dessus et au-dessous de l'axe des x, à droite et à gauche de l'axe des y.
Faisons quelques hypothèses : Soit d'abord x = o ; on tire de l'équation proposée, y V4 = ±2.
Prenons sur AY deux distances AB, AC, égales à 2 ; les points B et C appartiennent à la courbe. ”

“ Que, par un point fixe pris dans le plan d'une courbe géométrique, on mène une transversale qui rencontre la courbe en autant de points qu'elle a de dimensions; qu'en ces points on mène les tangentes à la courbe; et que, par le point fixe, on tire une seconde droite de direction arbitraire, mais qui restera fixe : les segments compris sur cette droite, entre le point fixe et toutes les tangentes à la courbe, auront la somme de leurs valeurs inverses constante, quelle que soit la première transversale menée par le point fixe ”

“ B2 — 4AC = o.
297. L'équation (2) se réduit, dans cette hypothèse, à
on exprime par là que le radical est nul, et, par suite, que, pour l'abscisse particulière
l'ordonnée de la courbe devient égale à l'ordonnée DE du diamètre ; donc E est un point où la courbe rencontre son diamètre. ”

“ Cette courbe présente des propriétés analogues à Celles des lignes focales des surfaces du second ordre. Elle est le lieu des centres des sphères de rayon nul, doublement tangentes à la surface anallagmatique; ou, ce qui revient au même, elle est une ligne double de la développable circonscrite à l'anallagmatique et au cercle imaginaire de l'infini.
Deux anallagmatiques qui ont une même ligne focale sont dites homofocales. Elles se coupent partout à angle droit, et leur courbe d'intersection est une ligne de courbure de chacune des surfaces. ”

“ Et, plus généralement, les pôles d'un plan quelconque, pris par rapport à ces surfaces, sont sur une courbe à double courbure, du troisième degré.
(12) Quand un corps solide est en mouvement; si, à un instant quelconque, on demande quels sont les points du corps dont les directions tendent vers un même point donné, c'està-dire, dont les tangentes à leurs trajectoires passent par un point donné, ces points seront situés sur une courbe à double courbure, du troisième degré; et les tangentes à leurs trajectoires, menées par ces points, formeront un cône du second degré. ”

“ On montre en cinématique que tout mouvement plan peut être produit par le roulement d'une courbe sur une autre courbe; dans le cas particulier où deux points A et B fixes du plan mobile, décrivent des droites du plan fixe OX, OY, la roulette est un cercle passant par les points donnés et par le point O d'intersection des deux droites ; la base ou .courbe sur laquelle roule le cercle AOB est un cercle de rayon OC double du rayon de la roulette et dont le centre est le point O d'intersection des droites directrices OX, OY.
Tout point du plan mobile décrit une ellipse (n° 2160) ”

“ On peut, du reste, trouver autant de points de la courbe que l'on voudra, en attribuant à x une série de valeurs, et en construisant les deux valeurs de y correspondantes.
Il est d'usage de rechercher, par exemple, les points où la courbe rencontre les axes. 1 Or, pour x = o, l'équation proposée devient j
La double valeur de y est facile à construire. ”

“ Plus tard M. de la Gournerie a donné, dans son Traité de Géométrie descriptive (1) , l'expression suivante du rayon de courbure p d'une branche de la section d'une surface par son plan tangent, dans le cas général où la courbe a un simple contact avec les asymptotes de l'indicatrice :
R,, R2 sont les rayons de courbure principaux de la surface ”