Motif géométrique

“ C’est pour cela que la géométrie est si précieuse. Une relation géométrique peut remplacer avantageusement une relation qui, considérée à l’état brut, devrait être regardée comme mécanique, elle peut en remplacer une autre qui devrait être regardée comme optique, etc. ”

“ Cela posé, la géométrie moderne consiste essentiellement à abstraire, pour la traiter à part, d'une manière entièrement générale, toute question relative à un même phénomène géométrique, dans quelques corps qu'il puisse être considéré. L'application des théories universelles ainsi construites à la détermination spéciale du phénomène dont il s'agit dans chaque corps particulier, n'est plus regardée que comme un travail subalterne, à exécuter suivant des règles invariables et dont le succès est certain d'avance. ”

“ Hâtons-nous de dire, cependant, pour éviter toute interprétation inexacte de notre but et de notre sentiment sur les deux méthodes qui se partagent le domaine des sciences mathématiques, que notre admiration pour l'instrument analytique, si puissant de nos jours, est sans bornes, et que nous n'entendons pas lui mettre en parallèle, sur tous les points, la méthode géométrique. ”

“ Cette géométrie est très fragile, des facteurs extérieurs et intérieurs interviennent pour en rompre la régularité. Le milieu, avec la complexité des mouvements contraires qui l'agitent, paraît s'opposer à toute réalisation géométrique durable. Tout objet ou tout être, au cours de son évolution, passe par un stade mou, plus ce stade se prolonge, plus la forme définitive est irrégulière.
Nous sommes amenés à concevoir comme géométriques les formes définies qui traduisent le jeu d'une ou de quelques lois simples, ce sont les polygones, les polyèdres, les courbes régulières. ”

“ Il ne faut point perdre de vue que, pour qu'une question géométrique tombe dans le domaine propre de la géométrie descriptive, elle doit nécessairement avoir toujours été résolue préalablement par la géométrie spéculative, dont ensuite, comme nous l'avons vu, les solutions ont constamment besoin d'être préparées pour la pratique de manière à suppléer aux constructions en relief par des constructions planes, substitution qui constitue réellement la seule fonction caractéristique de la géométrie descriptive. ”

“ L' esprit géométrique a pour fonction de tirer les conséquences de principes , quels qu' ils soient , tantôt fournis par l' intelligence elle-même , comme sont les axiomes de la géométrie , tantôt par l' observation des phénomènes naturels . ”

“ DE LA GÉOMÉTRIE. 35
demie de Saint-Pétersbourg ( 1) ; par Carnot, dans sa Géométrie de position (2) ; par J. Français (3) , Poisson (4) , Binet ( 5) et Hachette (6) .
M. Gaultier, ancien élève de l'Ecole Polytechnique et professeur de Géométrie descriptive au Conservatoire des arts et métiers, donna le premier une solution géométrique générale du problème. Le beau travail qui contient cette solution est intitulé : Mémoire sur les moyens généraux de construire graphiquement un cercle déterminé par trois conditions, et une sphère déterminée par quatre conditions. ”

“ Mais on n'arrivera, dans les arts, à des perfectionnements positifs et d'une grande étendue, , qu'en pratiquant avec constance les méthodes rigoureuses du dessin géométrique. Que les artistes étudient, avec soin les moyens de tracé que leur offre, la géométrie descriptive ”

“ En effet pourquoi avons-nous dit que l’ordre géométrique est l’ordre vrai ?
ariste. — Parce que nous ne pouvons percevoir des formes qu’en les composant de lignes droites, et que la géométrie nous fait connaître les figures de plus en plus complexes que l’on peut construire avec des lignes droites.
eudoxe. — Pour que l’ordre vrai de toute science fut d’aller du général au particulier il faudrait que toutes nos connaissances naturelles allassent du général au particulier ”

“ On peut s'étonner de voir invoquer la sensibilité à propos de démonstrations mathématiques qui, semble-t-il, ne peuvent intéresser que l'intelligence. Ce serait oublier le sentiment de la beauté mathématique, de l'harmonie des nombres et des formes, de l'élégance géométrique. C'est un vrai sentiment esthétique que tous les vrais mathématiciens connaissent. Et c'est bien là de la sensibilité. ”

“ La nature est géométrique, la beauté est géométrique. J’ai conclu : le corps que ma raison construit est naturel ; il est situé dans l’espace, comme tous les corps. ”

“ Nous comprenons donc, avant tout, qu’il eût été surérogatoire, et conséquemment anti-philosophique, d’attribuer aux atomes, en vue de leurs destinations respectives, autre chose qu’une différence de forme au moment de leur dispersion, et postérieurement une inégalité particulière de distance, — toutes les autres différences naissant ensemble des premières, dès les premiers pas que la masse a faits vers sa constitution. Nous établissons donc l’Univers sur une base purement géométrique. ”

“ La connaissance que j’avais des mathématiques m’aida beaucoup à comprendre leur façon de parler, et leurs métaphores, tirées la plupart des mathématiques et de la musique ; car je suis un peu musicien. Toutes [1] leurs idées n’étaient qu’en lignes et en figures, et leur galanterie même était toute géométrique. ”

“ LES FORMES DANS LA MATIÈRE La forme n’est qu’une vue de l’esprit, une spéculation sur l’étendue réduite à l’intelligibilité géométrique, tant qu’elle ne vit pas dans la matière. Comme l’espace de la vie, l’espace de l’art n’est pas sa propre figure schématique, son abréviation justement calculée. Bien que ce soit une illusion assez communément répandue, l’art n’est pas seulement une géométrie fantastique, ou plutôt une topologie plus complexe, il est lié au poids, à la densité, à la lumière, à la couleur. ”

“ La géométrie, en nous enseignant que les surfaces et les solides sont bornés par des lignes, nous donne l’idée la plus claire et la plus complète du dessin, qui réside dans les contours... En dernière analyse, dans la pratique comme dans la théorie, il faut reconnaître que la géométrie est la base de la science du dessin. ”

“ En effet, la géométrie descriptive, plus élégante que la géométrie simple, plus générale dans les rapports qu'elle saisit et les résultats qu'elle présente, est plus applicable à un art qui a pour objet de représenter les corps suivant les lois de la vision, et de faire voir tout ce qui peut résulter, dans l'espace, de leurs formes et de leurs combinaisons ”

“ Eli bien ! tous les corps que renferme la nature, tous ceux que l'industrie façonne, tout espace vide ou occupé par une substance quelconque, se mesurent, se comparent au moyen de trois dimensions , et prennent en géométrie le nom de solides ou volumes. ”

“ Il faut dire quelque chose de la Mécanique, que l’on considère communément comme la première application de la géométrie à l’expérience. On oublie en cela que la géométrie et même l’algèbre, comme aussi l’arithmétique, et comme toutes les sciences, sont des sciences de la Nature. ”

“ La géométrie, Monseigneur, est le roman de notre raison. Un simple point sans étendue, c'est-à-dire rien, le néant même, produit en se multipliant, les lignes, les surfaces, les plans, évolue, se gonfle, et met bas enfin, comme un cheval de Troie d'une autre sorte, la géométrie tout entière. ”

“ Il suffira donc d'étudier les propriétés de la figure située dans ce plan, et d'en transporter l'énoncé à la figure située à l'infini. Par là, on saisira mieux l'ensemble et les rapports de toutes les parties d'une figure proposée dans l'espace; plusieurs de ses parties qui, situées à l'infini, échapperaient aux yeux et à l'esprit, deviendront palpables dans la nouvelle figure. On évitera des constructions que l'on serait obligé de concevoir idéalement sur des objets entièrement à l'infini ; et les raisonnements, devenus plus faciles, seront en même temps plus lumineux et plus convaincants. ”

“ La Géométrie nouvelle emploie la même chose pour les solides. Une surface à laquelle on donne une hauteur infiniment petite, est l’élément d’un solide, & cet élément se transforme en ce solide même par le calcul intégral. ”

“ C’est un préjugé assez ancien que la connaissance a sa fin en elle-même ; et l’enseignement, par un effet peut-être inévitable, donnerait à la géométrie l’apparence d’une science qui ne cherche rien hors de ses figures. Il faut donc répéter que la connaissance n’a d’autre objet que les choses mêmes, en vue de prévoir les mouvements que nous avons à faire pour nous procurer certaines impressions et en écarter d’autres. Ainsi la géométrie a pour fin l’orientation, l’arpentage et le cubage, applications qui couvrent le domaine entier des sciences. ”

“ La géométrie nous apprend à étudier les éléments de symétrie d’une figure limitée telle qu’un polyèdre et à découvrir entre ces éléments des relations nécessaires qui permettent de les réunir en groupes. ”

“ La matière de la géométrie plane ne diffère pas sensiblement de celle que nous enseignons dans nos écoles ; mais dans l’enseignement de la géométrie dans l’espace, les Américains emploient des procédés d’intuition dont nos professeurs et auteurs d’ouvrages de mathématiques élémentaires pourraient utilement s’inspirer.
Ils partent du principe que les constructions de la géométrie dans l’espace ne peuvent se tracer avec le relief, ni à la règle, ni au compas, ni à l’aide d’aucun instrument de dessin ”

“ Pour qu'un espace à deux dimensions possède les propriétés géométriques qui nous ont été rendues familières par l'étude de la géométrie élémentaire, il est nécessaire que l'on puisse construire, en un point quelconque de cet espace, une figure congruente à une figure donnée. ”

“ La géométrie est une science qui détermine synthétiquement, et pourtant à priori, les propriétés de l’espace. Que doit donc être la représentation de l’espace pour qu’une telle connaissance en soit possible ? ”

“ Certainement la géométrie est exacte; mais elle n'est pas réelle. Avez-vous rencontré quelque part le triangle abstrait et la ligne droite des géomètres? Où résident les nombres séparés des êtres réels dont les propriétés sont si multiples et si complexes, que la moindre est, sans contredit, celle de pouvoir être dénombrés? Qu'est-ce qui fait enfin l'exactitude des mathématiques? C'est l'étroite simplicité des faits dont elles raisonnent; leurs formules ne sont si précises, et si rigoureuses que parce que leur point de vue est borné. ”

“ Et alors nous dirons que la géométrie est l’étude d’un ensemble de lois peu différentes de celles auxquelles obéissent réellement nos instruments, mais beaucoup plus simples, de lois qui ne régissent effectivement aucun objet naturel, mais qui sont concevables pour l’esprit. En ce sens, la géométrie est une convention, une sorte de cote mal taillée entre notre amour de la simplicité et notre désir de ne pas trop nous écarter de ce que nous apprennent nos instruments. Cette convention définit à la fois l’espace et l’instrument parfait. ”

“ Dans la seconde Géométrie, on regarde la droite, ou le plan, suivant qu'on opère sur un plan ou dans l'espace, comme l'être primitif, ou l'unité qui doit servir à former toutes les autres parties de l'étendue. ”

“ La Géométrie, en effet, est soumise, comme toutes nos autres connaissances positives, à cette condition qui gêne l'esprit humain, de ne marcher d'un pas sûr que progressivement, et toujours du simple ou composé ”

“ Géométrie pratique. — La géométrie pratique applique les préceptes de la première, en les exécutant de la main, au moyen des instruments connus pour mesurer tout ce qui peut être mesuré, ou est ce qu'on appelle commensurable ; elle s'étend et est utile à toute profession où l'on se sert de mesure. ”

“ Or la géométrie est la science qui initie aux rapports et aux propriétés des limites soit des surfaces, soit des corps ou solides. Les limites des surfaces sont des lignes, et les limites ou extrémités des corps ou solides sont des surfaces. ”

“ Géométrie, — Les volumes, les surfaces et les lignes ont des formes diverses, et, par suite, des-propriétés particulières à chacune de ces formes. Ainsi les propriétés de la sphère ne sont pas celles du cube; de même toute ligne courbe ne jouit pas des propriétés de la circonférence. La géométrie a pour but d'étudier ces propriétés diverses, mais l'objet principal de cette science, c'est la mesure des volumes, des surfaces et des ligne s.
RÉSUMÉ.
Le volume d'un corps est l'espace qu'il occupe. ”

“ La Géométrie descriptive donne des méthodes pour représenter exactement, sur un seul plan, tout corps susceptible d’une définition précise, et pour déduire de cette représentation les véritables grandeurs des diverses parties du corps que l’on considère. ”

“ La géométrie ne serait que l’étude des mouvements des solides ; mais elle ne s’occupe pas en réalité des solides naturels, elle a pour objet certains solides idéaux, absolument invariables, qui n’en sont qu’une image simplifiée et bien lointaine. ”

“ Il n’en est pas moins important de discuter les principes et les théorèmes fondamentaux de la Géométrie quand on fait abstraction de l’axiome des parallèles. Nous avons aussi exclu de notre étude la question importante de savoir s’il est possible, sans la notion du plan ni de la droite, au seul moyen des points comme éléments et en employant la notion des groupes des déplacements, ou a l’aide de la notion de distance, d’édifier la Géométrie d’une manière logique. ”

“ Ainsi, nous pouvons dire que les deux principes de dualité et d'homographie offrent une véritable méthode rationnelle pour appliquer aux figures sphériques les propriétés des figures planes, et, en un mot, pour former la Géométrie de la sphère; et cette partie de la science de l'étendue peut, dès aujourd'h ui, faire de rapides et faciles progrès. ”