Solution de Fehling

“ Supposons que le système donné (3) ne soit pas en involution. Plusieurs cas peuvent se présenter.
PREMIER CAS : les équations (5) qui fournissent les éléments intégraux à p dimensions issus d'un point intégral générique sont incompatibles. Dans ce cas, la compatibilité des équations (5) entraîne des relations entre les coordonnées Xi, za du point origine de l'élément intégral.
Si ces équations entraînent des relations entre les variables indépendantes, ou si elles entraînent comme conséquence que le rang du système 0a == 0 est inférieur à rI, le problème proposé n'admet pas de solution. ”

“ THÉORÈME. — Toute solution d'un système différentiel fermé à deux variables indépendantes peut être regardée comme faisant partie de la solution générale d'un système en involution qu'on peut former d'une manière régulière au bout d'un nombre fini d'opérations.
117. REMARQUE. — En réalité nous nous sommes bornés aux solutions du système initial (3) pour lesquelles le rang du système formé par les équations différentielles du premier degré a sa valeur maxima, et les mêmes restrictions ont été implicitement faites en ce qui concerne les systèmes différentiels successifs obtenus. ”

“ Il est clair que toute variété intégrale est solution du système donné, auquel on ajouterait toutes les équations obtenues en différentiant extérieurement les équations du système, car si une forme différentielle est nulle, sa différentielle extérieure est nulle d'elle-même. ”

“ Une solution saturée, ou au moins de très-fortes solutions alcalines, ramollissent un grand nombre d'éléments constitutifs sans les dissoudre et, en général, sans les endommager, tandis que cela a lieu, plus ou moins, et très-promptement, avec des solutions affaiblies; les solutions fortes dissolvent souvent les substances intermédiaires, espèce de mastic qui unit les cellules entre elles ”

“ SOLUTIONS SINGULIÈRES. — Les solutions singulières du système (X, 1, 2) sont celles pour lesquelles la fonction u est une constante m. Les équations (X, 2) donnent alors cd12 — w12 — 0 dv = 0 (f = n) ,
et, par différentiation extérieure,
[u>l3ci>23]
Le système différentiel fermé qui donne les solutions singulières est alors
(X, 4)
Ce système est en involution et sa solution générale dépend de deux fonctions arbitraires d'un argument. Les caractéristiques sont données par l'équation
:'-' (;;13 +. w"w23 — wlW13 "H w2W23,
ou encore
(m2 — 1) (wlW13 + + m2n [ (wl) 2 + K) 2] = 0. ”

“ S’il n’y a pas de solution hétérocline ces deux ensembles doivent être extérieurs l’un à l’autre ; ils ne peuvent donc remplir le demi-plan.
Si au contraire il existe une solution hétérocline, ces deux ensembles coïncideront. On voit que l’existence d’une pareille solution, si elle venait à être établie, serait un argument contre la stabilité.
Au Chapitre XIII nous avons étudié les séries de MM. Newcomb et Lindstedt, nous avons démontré au no 149 que ces séries ne peuvent converger pour toutes les valeurs des constantes qui y entrent. ”

“ On met 3 minutes à l'étuve à 37°, au bout desquelles on arrête l'action du ferment en versant dans chaque tube 0 cmc. 25 de liqueur de Fehling de titre connu qui, en même temps, lui communique une teinte bleue. On porte à l'ébullition. Le sucre formé dans les tubes est d'autant plus abondant que le suc duodénal y a été ajouté en quantité plus grande: de sorte que, si le tube qui n'a reçu qu'une seule goutte paraît habituellement inchangé, ceux ayant reçu 8, 9 et 10 gouttes montrent généralement une réduction complète de la liqueur de Fehling, et perdent par conséquent toute couleur bleue. ”

“ M. Newton appelle le calcul différentiel, méthode des fluxions, parce qu’il prend, comme on l’a dit, les quantités infiniment petites pour des fluxions ou des accroissemens momentanés. Il considere, par exemple, une ligne comme engendrée par la fluxion d’un point, une surface par la fluxion d’une ligne, un solide par la fluxion d’une surface ”

“ Alors, en vertu des équations différentielles susdites, chaque partie de fonction, aussi bien que , se présente comme un potentiel dans l’espace relatif aux deux variables et et l’on peut indiquer, d’une manière abrégée, les développements de Riemann en disant qu’il fait l’application, à ces parties de fonction, des théorèmes fondamentaux de la théorie du potentiel. Son point de départ prend ainsi racine dans le domaine de la Physique mathématique. Vous voyez donc, Messieurs, que, même dans le domaine des Mathématiques, l’individualité joue un grand rôle. ”

“ Si l’on change infiniment peu la position du système, d’une manière compatible avec les conditions de la liaison de ses parties ; chaque point matériel s’avancera dans la direction de la force qui le sollicite, d’une quantité égale à la partie de cette direction, comprise entre la première position du point, et la perpendiculaire abaissée de la seconde position du point, sur cette direction. Cela posé : dans le cas de l’équilibre, la somme des produits de chaque force, par la quantité dont le point auquel elle est appliquée, s’avance dans sa direction, est nulle. ”

“ Si la chose est impossible, l'unité mécanique de l'univers est brisée: un commencement absolu 204 a lieu même dans la série empirique, l'ensemble des choses phénoménales subit une addition qu'aucun calcul n'aurait pu déduire de la somme antécédente. ”

“ Ainsi l’expérimentateur, conscient de la complexité presque infinie des phénomènes chimiques, ne se soucie-t-il plus d’atteindre du premier effort les faits primitifs en petit nombre qui, par leurs combinaisons diverses, doivent expliquer le système du monde, et, à l’occasion, il déclare que les orgueilleux essais de synthèse, dus à des prédécesseurs, sont trop naïfs et trop simplistes ! C’est tout du moins ce qu’exprime Hoffmann quand il discute les théories de la dissolution émises par Boyle ou Lémery... ”

“ Chacun peut constater aujourd'hui qu'en matière d'hélice les plus audacieuses spéculations ont fait place à une résignation générale et à la conclusion qu'il faut attendre de la méthode expérimentale, et d'elle seule, les résultats qui permettront tôt ou tard d'expliquer correctement les caractéristiques de fonctionnement du propulseur. Alors seulement, quand les mathématiques seront ramenées à leur seul vrai rôle qui est d'encadrer le phénomène vrai et non pas l'hypothèse du phénomène, la chose étudiée se présentera nue, le mystère sera éclairci et la simplicité prendra le premier rang. ”

“ En fait, on peut écrire, pour tous les systèmes chimiques quels qu’ils soient, des équations d’équilibre formelles, mais pour les corps en solutions étendues seulement, on peut considérer la fonction de l’action de masse, d’où dépend l’équilibre, comme simplement proportionnelle à la concentration, tandis qu’on ne connaît pas cette fonction pour les solides, les solutions concentrées ou les mélanges de corps purs sans dissolvants. ”

“ On peut démontrer, sous certaines conditions qu'il n'est du reste pas facile de préciser, qu'on finira par arriver à un système en involution.
Nous ne nous arrêterons pas au cas général et nous allons nous contenter de montrer comment on peut faire la démonstration dans le cas le plus simple, celui où il- n'y a que deux variables indépendantes. La démonstration que nous allons donner ne s'étend pas du reste au cas d'un nombre quelconque de variables indépendantes. ”

“ La différentielle complète de cette fonction est donc
et l’on a par conséquent
formule où la fonction sous le signe doit être nécessairement susceptible d’une intégration exacte, pour que le fluide soumis à l’action des forces représentées par puisse demeurer en équilibre. ”

“ Au contraire, si le fluide est d'abord dans un état d'équilibre subsistant, et qu'on y applique de nouvelles forces quelconques, le second état d'équilibre auquel il parviendra pour obéir à ces forces sera stable comme l'état primitif, si le nouvel arrangement de ses molécules autour de chaque point est semblable à celui qui avait lieu auparavant. ”

“ En intégrant par parties le premier terme de l’équation précédente, elle se changera en
en marquant d’un et de deux accents les lettres représentant les quantités appartenant aux limites des intégrales. On a donc en premier lieu, pour les conditions de l’équilibre d’un point quelconque de l’intérieur du fluide, les équations indéfinies
qui signifient que les expressions des forces données en fonction de doivent être respectivement les différentielles partielles prises par rapport à à à d’une même fonction de ces coordonnées. ”

“ Elles ont été utilisées encore dans les discussions qu’a soulevées la mécanique statistique pour préciser la signification de certains énoncés comme celui du célèbre théorème H. de Boltzmann, qui tend à établir l’irréversibilité du passage d’un système composé d’un grand nombre de molécules d’une configuration initiale quelconque à la configuration la plus probable. ”

“ Mais on sait que, pour obtenir certaines conditions ou pour parvenir à certains résultats du mouvement d’un système, il faut différentier la seconde équation, et évaluer la différentielle dans une position d’équilibre. Cette différentielle devient alors une fonction des forces en équilibre, telle que ces forces ne s’y évanouissent plus ; ce qui suffit pour prouver que des forces en équilibre ne se détruisent pas toujours et ne sont pas toujours, à l’égard d’un système, comme si elle n’existaient pas. ”

“ Les idées à ce sujet se sont complètement modifiées : autrefois les réactions d’équilibre paraissaient être l’exception ; aujourd’hui on a bien des raisons de croire, au moins dans le cas de mélanges homogènes de systèmes pouvant se transformer l’un en l’autre, comme les solutions, que l’équilibre est le fait réel et que la transformation n’est totale qu’en apparence. ”

“ L'opération du prolongement d'un système différentiel est au fond identique à celle qui consiste, étant donné un système d'équations aux dérivées partielles, à ajouter aux équations de ce système celles qu'on en déduit en les dérivant en totalité ou en partie, par rapport à une ou plusieurs des variables indépendantes. ”

“ Nous donnerons plus loin, au surplus, un procédé direct, pour parvenir à la surface à laquelle toutes les droites d’un faisceau sont tangentes, à quelque base d’ailleurs que ce faisceau soit rapporté.
8. En second lieu ; si l’on voulait que toutes les droites du faisceau fussent normales à la nouvelle base, il faudrait qu’on eût à la fois
en sorte que l’équation différentielle totale de la nouvelle base devrait être
mais on voit par là même que le problème n’est pas toujours possible ; puisqu’une équation différentielle totale n’est pas toujours intégrable. ”

“ L’essentiel dans l’étude des voies et moyens, comme dans tous les problèmes de mécanique, c’est de n’oublier en son calcul aucun élément important, d’y faire entrer toutes les altérations que le milieu réel peut faire subir aux lois abstraites et générales, N’est-ce pas une même cause, la pesanteur, qui fait tomber les coups plus lourds que l’air et monter les corps plus légers que l’air ? ”

“ Pour que cette rotation ne se produise pas, il faut,, en outre, que le couple résultant soit nul. — Et c'est là une seconde condition d'équilibre nécessaire pour un système, condition qui n'a pas figuré dans les conditions d'équilibre du point.
332. Ainsi, en résumé : Les conditions d'équilibre d'un système sont : Une résultante nulle, Et un couple résultant nul. ”

“ On pourrait aussi examiner d’après les mêmes principes les cas où la fonction deviendrait infinie, pour des valeurs singulières de comprises entre des limites données ; mais cela ne se rapporte point à l’objet principal que nous avons en vue, qui est d’introduire dans les intégrales les fonctions arbitraires ; il est impossible qu’aucune question naturelle conduise à supposer que la fonction devient infinie, lorsqu’on donne à une valeur singulière comprise entre des limites données. ”

“ Telles sont les questions qui se posent naturellement, et la difficulté de la solution provient principalement de ce que les traités de mécanique ne distinguent pas bien nettement ce qui est expérience, ce qui est raisonnement mathématique, ce qui est convention, ce qui est hypothèse.
Ce n’est pas tout :
1o Il n’y a pas d’espace absolu et nous ne concevons que des mouvements relatifs ; cependant on énonce le plus souvent les faits mécaniques comme s’il y avait un espace absolu auquel on pourrait les rapporter ;
2o Il n’y a pas de temps absolu ; ”

“ Oui sans doute, «le tout, dans cette affaire, est de comprendre n'importe comment la neutralisation des causes qui n'entrent pas dans le calcul du probable; il ne faut rien de plus au mathématicien et il n'a le droit de rien demander au delà.» ”

“ Au reste, on poura prendre immédiatement cette résultante : car si la force R appliquée en A est parallèle au plan du couple (S, —S) , on pourra amener ce couple dans un même plan, • avec la force R, et alors les trois forces R, S et — S, étant dans le même plan, se composeront toujours en une seule égale et parallèle à R, et qui sera la résultante unique de toutes les forces.
72. Dans le cas où la force R est égale à zéro, il n'y a point de résultante unique. Car toutes les forces du système sont réduites au seul couple (S, — S) qui ne peut jamais se réduire à une seule force. ”

“ S’il se forme des troubles blanchâtres, l’hydrolyse n’est pas assez poussée; si tous les hydrates de carbone sont à l’état de sucres solubles, l’eau reste claire.
En fin d’opération, on contrôle que tous les sucres sont bien éliminés en prélevant une petite fraction du résidu que l’on fait cuire à la liqueur de Fehling, sur laquelle il ne doit y avoir aucune action, ou dont on étudie, au microscope, la réaction avec l'iodo-chlorure de zinc qui ne doit pas, si l’hydrolyse est parfaite, donner de coloration bleue. ”