Loquacité

“ Nous concluons de là, que si la théorie physique résulte, comme on le pense généralement, de la combinaison de deux éléments — une forme logique et une matière extralogique —, il doit en être de même de la théorie mathématique. En d’autres termes il est impossible de considérer la Mathématique comme le moule de la théorie physique, car il y a dans cette science même autre chose qu’un moule, il y a un fond objectif qui ne se laisse qu’incomplètement réduire en termes logiques. ”

“ Si la logistique est une science distincte, elle a des postulats distincts qui ne sont pas ceux des Mathématiques. On prétendra peut-être que ces derniers sont un cas particulier des postulats logiques. Mais alors il faudra expliquer comment est obtenu ce cas particulier. Une particularisation est nécessairement un choix : or l’opération qui consiste à choisir, est, croyons-nous, absolument étrangère au calcul logique.
Supposons, au contraire, que la logistique ne soit pas une science distincte, et considérons-la en tant que forme de la science mathématique. ”

“ Je suis, au fond, parfaitement convaincu qu’angle et sinus ne sont que des concepts que j’ai créés pour ma commodité, et je n’ai pas un instant supposé que la nature calculât à l’aide d’une table de logarithmes. ”

“ La destruction est dans nos mains. La recomposition est son secret ; nos efforts sont le plus souvent infructueux, et nos succès dans ce genre ne sont que des exceptions.
⁂ La méthode complète du calcul intégral serait une révolution dans la géométrie, semblable à celle de l’application de l’algèbre et à celle de l’invention du calcul différentiel.
⁂ Nos moyens, pour surpasser la science primitive, ont donc été le télescope, qui étend le domaine des sens ; la géométrie qui permet de tout approfondir, et le génie qui ose tout comparer et s’élève à la science des causes. ”

“ I. Dans tout système dont la base est positive, tout nombre positif a un logarithme réel. Quant aux nombres négatifs, ils se partagent en deux séries telles que chacun de ceux de l’une d’elles a un logarithme réel, le même qu’il aurait s’il était positif ; tandis que ceux de l’autre série ont tous des logarithmes imaginaires.
II. Dans tout système dont la base est négative, il y a une moitié des nombres qui, avec quelque signe qu’on les prenne, ne sauraient avoir de logarithmes réels. ”

“ Toutefois, vu la répugnance naturelle de l'esprit humain envers les spéculations trop abstraites, à raison de leur trop grande indétermination, et malgré leur simplicité supérieure, c'est la géométrie proprement dite, encore plus que la pure analyse, qui, suivant l'appréciation instinctive indiquée par l'expression la plus usitée, constituera toujours, sous l'aspect logique, la principale des trois grandes branches de la science mathématique, la mieux adaptée à la première élaboration de la méthode positive. ”

“ C’est cette méthode de soumettre partout l’infini au calcul algébrique, que l’on appelle calcul différentiel ou des fluxions et calcul intégral. C’est l’art de nombrer et de mesurer avec exactitude ce dont on ne peut pas même concevoir l’existence.
En effet, ne croiriez-vous pas qu’on veut se moquer de vous, quand on vous dit qu’il y a des lignes infiniment grandes qui forment un angle infiniment petit ?
Qu’une droite qui est droite tant qu’elle est finie, changeant infiniment peu de direction, devient courbe infinie : qu’une courbe peut devenir infiniment moins courbe ? ”

“ Il n’y aura pas plus de confusion, ou de desordre dans les choses mêmes, & dans les raisonnemens qu’on fera sur leur sujet, que dans les Mathematiques il arriveroit du desordre dans les Démonstrations, ou du changement dans les Propriétez des Figures & dans les rapports que l’une a avec l’autre, si un homme faisoit un Triangle à quatre coins, & un Trapeze & quatre Angles droits, c’est-à-dire en bon François, s’il changeoit les noms des Figures, & qu’il appellât d’un certain nom ce que les Mathematiciens appellent d’un autre. ”

“ TROUVER LE LOGARITHME D'UNE FRACTION. En nous reportant aux deux progressions par lesquelles nous avons défini les logarithmes vulgaires, puisque la progression géométrique commence à l'unité et va en croissant, nous voyons que tous les nombres plus grands que l'unité ont des logarithmes, mais que les nombres plus petits que l'unité n'en ont pas. ”

“ C’est pourquoi nous faisons, dans tous les cas, l’erreur maximum inévitable des tables si toutefois l’argument (c’est-à-dire le nombre dont on cherche le logarithme, ou l’angle dont on veut le sinus) est obtenu avec une précision parfaite. Mais si l’argument lui-même n’est connu qu’approximativement et qu’on suppose qu’à l’erreur maximum à laquelle il peut être sujet réponde une variation du logarithme, etc. ”

“ XX L’application du calcul des probabilités aux sciences exactes entraîne aussi bien des difficultés. Pourquoi les décimales d’une table de logarithme, pourquoi celles du nombre π sont-elles distribuées conformément aux lois du hasard ? J’ai déjà ailleurs étudié la question en ce qui concerne les logarithmes, et là, cela est facile ; il est clair qu’une petite différence sur l’argument donnera une petite différence sur le logarithme, mais une grande différence sur la sixième décimale du logarithme. Nous retrouvons toujours le même critérium. ”

“ Car toute vérité, si profonde qu'elle soit, est intelligible, et peut s'énoncer au moyen de la parole , qui est le moule et
la représentation du vrai. Je suppose, par exemple, que vous ignoriez les mathématiques, et que j'aie mission de vous les apprendre , voici une vérité de cet ordre que je devrais quelque jour vous présenter : Si l'on construit un carré sur l'hypothénuse d'un triangle rectangle, la surface de ce carré sera égale à la surface des carrés que l'on construirait sur les deux autres côtés du même triangle. ”

“ Quand on considère deux progressions, l'une par différence commençant par 0, l'autre par quotient commençant par l'unité, les termes de la progression par différence sont nommés les logarithmes des termes de même rang dans la progression par quotient.
REMARQUE. Le logarithme d'un nombre considéré isolément, est tout à fait arbitraire. Si l'on demande : quel est le logarithme de 3? cette question n'a aucun sens tant que l'on n'a pas choisi les progressions qui définissent le système dont on veut parler. ”

“ Dans la zone intermédiaire au travers de laquelle s’effectuent ces échanges, par laquelle est assurée la communication entre l’observation et la théorie, le sens commun et la logique mathématique font concourir leurs influences et mêlent les uns aux autres, d’une manière inextricable, les procédés qui leur sont propres. ”

“ Dans cette science, on raisonne sur des figures, le plus souvent tracées à main levée, qui n'ont pas besoin d'être exactes, car elles ne servent qu'à guider dans les démonstrations, en rappelant à l'esprit des figures idéales, supposées parfaitement exactes, qu'il conçoit comme existant dans un espace ou sur un plap libre de tout obstacle. Au contraire, la géométrie pratique ne s'occupe que peu ou point de théorie, mais seulement de problèmes et des moyens de les résoudre effectivement, elle n'admet que des constructions réalisables, et il faut que ces constructions soient exactes. ”

“ Toutes ces questions peuvent être mises dans la classe du point mathématique qui n’existe que dans la tête des géomètres et de tant de problèmes de géométrie et d’algèbre dont la solution claire et idéale montre toute la force de l’esprit humain, force qui n’est pas ennemie des lois, théorie innocente et de pure curiosité, qui est si peu réversible à la pratique qu’on n’en peut faire plus d’usage que de toutes ces vérités métaphysiques de la plus haute géométrie. ”

“ À la vérité, cette manière de concevoir la représentation des lignes par des équations dans la géométrie analytique à trois dimensions, engendre, par sa nature, un inconvénient nécessaire, celui d'une certaine confusion analytique, consistant en ce que la même ligne peut se trouver ainsi exprimée, avec un même système de coordonnées, par une infinité de couples d'équations différens, vu l'infinité de couples de surfaces qui peuvent la former, ce qui peut présenter quelques difficultés pour reconnaître cette ligne à travers tous les déguisemens algébriques dont elle est susceptible. ”

“ Et qui sait si pour étendre nos Connoissances dans les autres Sciences, on n’inventera point un jour quelque Méthode qui soit du même usage que l’Algebre dans les Mathematiques, par le moyen de laquelle on trouve si promptement des Idées de Quantité pour en mesurer d’autres, dont on ne pourroit connoître autrement l’égalité ou la proportion qu’avec une extrême peine, ou qu’on ne connoîtroit peut-être jamais ? ”

“ Plus précisément, s’il est possible de regarder les expressions numériques et les figures géométriques comme les objets d’une science rigoureuse et purement rationnelle, c’est à la condition de ne voir en elles qu’une forme extérieure et accidentelle ; et, quand nous analysons ces expressions et figures, ce n’est pas en réalité sur elles que portent nos raisonnements mais bien sur les notions idéales, éternelles, dont elles sont la couverture. Voilà ce que doit comprendre tout homme qui a étudie les rudiments de la géométrie. ”

“ L’empreinte du hasard est marquée, très curieusement quelquefois, dans les nombres déduits des lois les plus précises. Une table de logarithmes en témoigne. Pour 10,000 nombres successifs, dans les tables à 10 décimales de Véga, je prends la septième figure du logarithme : rien dans ce choix n’est laissé au hasard. L’algèbre gouverne tout, une loi inflexible enchaîne tous les chiffres. Si l’on compte cependant les résultats, on aura, à très peu près, sur 10,000, mille fois le chiffre 0, mille fois le chiffre 1 et ainsi des autres ; la formule se conforme aux lois du hasard. ”

“ Elle l'a conduit à la résolution, au moyen d'intégrales définies, des équations algébriques et transcendantes, et à la découverte admirable d'une méthode analogue à celle du théorème de Sturm, pour obtenir le nombre des racines imaginaires d'une équation algébrique dans un contour. Elle donne l'explication des valeurs multiples du logarithme, de l'arc sinus, des intégrales des fonctions rationnelles et algébriques; elle conduit à considérer la valeur d'une fonction en * un point comme pouvant dépendre du chemin suivi pour parvenir à ce point. ”

“ Généralement le logarithme de telle puissance qu'on voudra d'un nombre donné, c'est-à-dire du produit de tant de facteurs égaux à ce nombre qu'on voudra, est égal au produit du logarithme de ce nombre par l'indice de la puissance, c'est-à-dire par le nombre des facteurs égaux qui servent à former la puissance. ”

“ Il faut avoir l’habitude de la méthode de raisonnement dont on se sert en géométrie, pour bien comprendre la métaphysique. Dans cette science, comme dans celle du calcul, le moindre chaînon sauté détruit toute la liaison qui conduit à l’évidence. ”

“ Relativement à l'analyse, il faut commencer par reconnaître que l'impossibilité où nous sommes de concevoir géométriquement pour des équations contenant quatre, cinq variables ou un plus grand nombre, une représentation analogue à celles que comportent toutes les équations à deux ou à trois variables, ne doit pas être envisagée comme une imperfection de notre système de géométrie analytique, car elle tient évidemment à la nature même du sujet. ”

“ Mais je remarquerai que ce que l’on appelle assez improprement les Mathématiques [7] [je ne parle ici que des mathématiques pures] , consiste dans la science des calculs arithmétiques et algébriques, et dans celles des propositions de géométrie, c’est-à-dire dans la connaissance des combinaisons que l’on peut faire des idées abstraites de quantité, et dans celles des conséquences que l’on peut tirer des propriétés abstraites de l’étendue. ”

“ Cette perfection nécessaire de la géométrie, obtenue essentiellement par l'application, qu'elle comporte si éminemment, de l'analyse mathématique, fait ordinairement illusion sur la nature réelle de cette science fondamentale, que la plupart des esprits conçoivent aujourd'hui comme une science purement rationnelle, tout-à-fait indépendante de l'observation. ”

“ Cependant, si je voulais citer de nombreuses erreurs en physique provenant de fausses idées métaphysiques, les exemples ne me manqueraient pas ; et, même en géométrie, je pourrais dire que si les géomètres sont mécontens avec raison de la plupart des définitions de la ligne droite, et des démonstrations des propriétés des parallèles, et du peu de liaison qu’ont entr’elles plusieurs des premières vérités de la géométrie, la cause en est qu’ils ne se sont pas fait une idée nette de la nature de l’étendue, et de la manière dont nous la connaissons. ”

“ Bien qu’elle limitât ainsi ses affirmations — et parfois, peut-être, pour cette raison — la doctrine intuitioniste des mathématiciens modernes a été l’objet de critiques assez nombreuses. Les logiciens l’ont jugée d’abord contraire à leurs principes, car, disaient-ils, seule la logique est juge de la vérité et permet, par conséquent, de fonder une science rigoureuse et certaine. ”

“ Évidemment, si on donne sa parole d’honneur que « rien n’est absolu », l’arithmétique, du même coup, devient exorable et l’incertitude plane sur les axiomes les plus incontestés de la géométrie rectiligne. ”

“ Ce qui n’empêche pourtant pas que la connoissance qu’il a de quelque vérité ou de quelque propriété que ce soit, qui appartienne au Cercle ou à toute autre Figure Mathematique, ne soit veritable & certaine, même à l’égard des choses réellement existantes, parce que les choses réelles n’entrent dans ces sortes de Propositions & n’y sont considerées qu’autant qu’elles conviennent réellement avec les Archetypes qui sont dans l’Esprit du Mathematicien. ”