Multivers

“ Depuis ce temps j’abhorre le chiffre, cette négation de toute pensée, et il m’est resté, contre cette puissance des mathématiques exclusive et jalouse, le même sentiment, la même horreur qui reste au forçat contre les fers durs et glacés rivés sur ses membres, et dont il croit éprouver encore la froide et meurtrissante impression quand il entend le cliquetis d’une chaîne. Les mathématiques étaient les chaînes de la pensée humaine. ”

“ La loi de la multiplication suivant une progression géométrique. — Tous les êtres organisés ont une puissance de multiplication énorme. Bien qu’elle soit plus faible chez l’homme que chez tous les autres animaux, une population humaine, dans des circonstances favorables, peut se doubler en quinze ans, ou centupler en un siècle. La postérité de beaucoup d’animaux ou de plantes peut, en une seule année, atteindre un chiffre dix fois ou mille fois plus considérable que le nombre primitif. ”

“ Dans le domaine de la mathématique abstraite, d’assez nombreux interprètes, soit de la géométrie des indivisibles, soit du calcul intégral, ont formé le concept de la multiplication d’un minimum de quantum par un maximum numérique, appelé l’infini, pour engendrer la quantité finie. ”

“ Cette science exige un monde où tout soit nombrable et mesurable. Or le nombre, c’est la répétition pure et simple, sans nulle variation ; et la quantité, c’est la possibilité de répétitions indéfinies et de toutes sortes de répétitions indéfinies. — L’unité, en arithmétique, est conçue comme un thème très simple qui n’est susceptible d’aucun autre genre de variation que sa propre répétition ou contre-répétition sans fin assignable. Exprimer le rapport de l’unité avec sa propre répétition, c’est la signification du nombre. ”

“ Quelques philosophes lui donnent le nom de mouvement de multiplication, dans l’opinion où ils sont que les corps y sont multipliés, non pas en nombre, mais en masse ; ce qui s’exprime plus proprement par le mouvement d’augmentation ou d’accroissement. ”

“ Le dilemme de l’infini porte sur l’application de la logique de la quantité à l’ordre universel des phénomènes dans l’espace et dans le temps. Les rapports de l’unité au nombre, et des parties au tout, sont-ils applicables partout oh l’on peut regarder une existence réelle comme constituée, en extension ou en composition ? ”

“ Vous voyez qu'on ne peut pas s'approcher de la coupure, et
mon objection est mal fondée, par cela même. Sans doute, pour votre série, le domaine de convergence est de forme similaire et ainsi s'explique mon erreur. Mais vous voyez bien en même temps que ces séries, quoique de formes assez simples, ne sont en réalité pas aussi simples si l'on fait attention à la forme bizarre du domaine de convergence. Il est peut-être bon d'appeler l'attention sur cette forme singulière du domaine de convergence. ”

“ Seulement, la division cellulaire ou multiplication mettant sans cesse en scène un nombre croissant d’acteurs et, d’autre part, les conditions individuelles de l’activité de chacun d’eux étant la conséquence de celle de leurs prédécesseurs et de leurs contemporains, le phénomène d’ensemble qui résulte de phénomènes élémentaires simples acquiert rapidement un aspect infiniment embrouillé. ”

“ En dehors de la Série et de l'Analogie, le lien des faits se rompt, la conception scientifique du multiple dans l'unité s'évanouit, et à l'ordre de la hiérarchie progressive succède l'obscure confusion d'éléments non asservis.
Si nous voulons arriver à saisir la Loi qui relie entre eux les phénomènes observés, si nous voulons avoir la perception nette de l'enchaînement des phénomènes
par le flux non interrompu de l'un dans l'autre, il nous faut absolument faire usage de la méthode analogique. ”

“ A vrai dire, l’intéressant n’est pas de se demander s’il y a unité, multiplicité, combinaison de l’une et de l’autre : c’est de voir quelle sorte d’unité, de multiplicité, de combinaison, réalise le cas actuel ; c’est surtout de comprendre comment la personne vivante est à la fois unité multiple et multiplicité une, comment se relient ces deux pôles extrêmes de la dissociation conceptuelle, comment se rejoignent par leurs racines ces deux branches d’abstraction divergentes. ”

“ On peut, au moyen de ce résultat général, transformer une puissance quelconque d’une différence de la fonction primitive de l’indice x, dans laquelle x varie d’une unité, en une série de différences de la même fonction, dans lesquelles x varie d’un nombre quelconque d’unités, et réciproquement. ”

“ Comme nous voulons généraliser ces principes certains relatifs à la multiplication et à la division, c'est pourquoi il est indispensable de rappeler que, pour multiplier ou di- viser un nombre par un autre, il devient essentiel d'élever successivement le multiplicateur et le diviseur, dont chacun est considéré comme racine, au quarré et au cube, afin de soustraire, à l'égard de la multiplication, le quarré du multiplicande ou d'une partie du multiplicande, et de prendre le cube correspondant pour produit ”

“ Changer la multiplication en addition et en soustraction, pour trouver le produit du multiplicande par le multiplicateur, c'est-à-dire prendre la moitié de la somme du multiplicande et du multiplicateur, et la moitié de leur différence ; ôter le quarré de la moitié de leur différence, du quarré de la moitié de leur somme, pour avoir le produit de ces deux facteurs.
La multiplication, qui est une addition abrégée, nous fait prendre le nombre multiplicande autant de fois que le nombre taultiplicateur contient d'unités, pour en avoir le produit. ”

“ Vous l'avez accusé d'établir une comparaison entre des quantités hétérogènes ; d'avoir au numérateur de sa fraction une masse, tandis qu'il avait au dénominateur une masse multipliée par une vitesse. Vous l'avez accusé d'avoir laissé de côté, pour les assiégés, le multiplicateur dépendant de la vitesse! Toutes ces accusations sont erronées. Vous n'avez pas su, ou vous avez oublié que tout nombre, entier ou fractionnaire, positif ou négatif, réel ou imaginaire , a pour multiplicateur l'unité, que par conséquent l'A + B de la formule équivalait à (A + B) X 1. ”

“ ON l'appelle multiple quand une grandeur entiere est contenuë plusieurs fois precisément dans une autre. Car alors celle qui contient est appellée multiple de celle qui est contenue, & celle qui est contenuë fous-multiple. Et l'une & l'autre se subdivise à l'infini selon l'infinie variété des nombres; double * triple , quadruple, &c. moitié, tiers, quart.
LA raison non multiple est quand ii n'y a que quelque aliquote de la grandeur, & non pas la grandeur entiere qui soit contenuë precisément dans l'autre grandeur. ”

“ Ainsi, la masse devient variable en suivant une loi connue, une loi qu’on peut écrire. Nous arrivons à une masse variable avec la vitesse, ce qui est tout à fait étranger à l’ancienne mécanique, et l’on a pu vérifier directement cette variation de la masse avec la vitesse. ”

“ Ainsi, quand vous avez un problème de multiplication, commencez toujours par reconnaître quel est le multiplicande. Cela fait, vous pourrez, pour rendre l'opération plus prompte, mettre le multiplicande à la place du multiplicateur, et réciproquement; mais vous vous souviendrez que ce changement de place n'est fait que pour faciliter l'opération : le produit est toujours de même nature que le véritable multiplicande, celui que votre raisonnement a reconnu d'abord, et qui exprime réellement les unités contenues dans chaque groupe. ”

“ Nous avons ici affaire non plus à un ensemble à trois dimensions comme l’espace ou à un ensemble à une dimension comme le temps, dont les instants se succèdent en quelque sorte en série linéaire, mais nous avons affaire à un ensemble d’événements, à ce que nous appelons une multiplicité qui est en réalité à quatre dimensions. ”

“ Le nombre (division, multiplication, diversité) , aussi bien que le temps et l’espace, est donc nécessaire à la formation de nos idées : il précède, pour me servir du langage de Kant, les catégories de la raison pure, c’est-à-dire les points de vue généraux d’après lesquels toute série est possible ; mais il suppose le temps et l’espace, quelque chose qui puisse être augmenté, divisé, diversifié [34] .
Après l’espace, le temps et le nombre, conditions formelles de l’aperception, vient la matière même de la connaissance, c’est-à-dire la substance, la cause et la série. ”

“ « Quand l’élève a très bien compris cela, montrez-lui que quand on multiplie par un chiffre d’un ordre inférieur à celui qu’on prend pour unité, le résultat diminue autant de fois que le multiplicateur est inférieur à l’unité (ou le résultat descend à droite et se met à la même place que le multiplicateur) .
« Montrez ensuite que la multiplication et la division des fractions décimales ne se distinguent en rien de la multiplication et de la division des nombres entiers [6] ». ”

“ Cette suite, qui se rapproche de plus en plus de l'infini, est incalculable, par la raison que la différence varie entre tous ses termes, et que la multiplication de la somme des extrêmes par la moitié du nombre des termes donne , à chaque opération, un produit qui excède la quantité numérique , et n'exprime pas le cube correspondant ; néanmoins, cette suite , dont les termes additionnés successivement jusqu'à l'infini, produit jusqu'à
l'infini les cubes des nombres naturels I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, etc., etc. ”

“ Dans cette branche générale de la théorie des grandeurs étendues, où l’on ne suppose rien de plus que ce qui est déjà renfermé dans le concept de ces grandeurs, il nous suffira, pour notre objet actuel, de porter notre étude sur deux points, relatifs : le premier, à la génération du concept d’une variété de plusieurs dimensions ; le second, au moyen de ramener les déterminations de lieu dans une variété donnée à des déterminations de quantité, et c’est ce dernier point qui doit faire clairement ressortir le caractère essentiel d’une étude de dimensions. ”

“ Dans la nouvelle Géométrie, il y a le calcul différentiel, & le calcul intégral. Calculus differentialis, calculus integralis. Le calcul différentiel, est la méthode de différentier les quantités ou grandeurs ; c’est-à-dire, la méthode de trouver une quantité infiniment petite, qui prise une infinité de fois, égale une quantité ou grandeur donnée. Ce que nous appelons différences, les Anglois l’appellent fluxions. Le calcul intégral, est la manière de former les différences, c’est-à-dire, la somme ou la grandeur égale à une infiniment petite donnée, prise une infinité de fois. ”

“ Pour constituer un nombre, il faut que les unités qui le composent soient rigoureusement homogènes, ce qui n’est vrai que des quantités mathématiques, et encore une fois de l’étendue, de la force et du temps. ”

“ Sans doute, toute branche des mathématiques traite de concepts qui sont des concepts abstraits au plus haut point ; c’est l’abstraction qui fournit les notions de nombre, de ligne, de surface, d’angle, de masse, de force, de pression ”

“ On peut déjà entrevoir que nos passions sont les rouages d'une mécanique où règne la justesse mathématique. Je n'ai point eu recours aux systèmes pour surmonter la difficulté en répartition, je me suis borné à appliquer au jeu des passions, les règles élémentaires de mécanique et d'arithmétique, la balance et la serie, ce qui est la même chose ; car la balance est comme la série, un accord de deux forces extrêmes faisant contrepoids à la double force moyenne. Si chacune des balances doit porter un quintal, il faut que le fléau puisse porter deux quintaux. ”

“ D’ailleurs, de même que l’attribution d’un nombre à un autre nombre, leur multiplication, est une sorte de combinaison féconde qui nous mène, — moyennant l’hypothèse d’une série numérique préexistante et obtenue par une suite d’additions - à un troisième terme, le produit, différent de ses générateurs ; pareillement, le dénombrement concret lui-même est, dans certains cas, instructif et significatif, toutes les fois qu’on suppose certaines lois qui régissent la connexion des divers ordres de phénomènes. ”

“ Le mode de multiplication est encore plus simple : la petite masse présente d’abord un étranglement qui se creuse peu à peu des deux côtés et la divise en deux parties; celles-ci finissent par se séparer complètement pour constituer deux êtres distincts, qui se diviseront à leur tour. ”

“ « Les [82] fonctions représentent les différentes opérations qu’il faut faire sur les quantités connues pour obtenir les valeurs de celles que l’on cherche et elles ne sont proprement que le dernier résultat de ce calcul. »
En d’autres termes, l’Analyse est un calcul comme l’algèbre, et la fonction — qu’elle soit algébrique ou transcendante — est le résultat d’une combinaison d’opérations. « La principale différence des fonctions — a écrit Euler [83] — consiste dans la combinaison de la variable et des quantités constantes qui la composent. » ”

“ Ils travailleront désormais pour les facultés, pour les colléges, pour les séminaires, pour les écoles, pour les commerçants, pour les industriels, pour les ingénieurs de tous les ordres, pour quiconque, en un mot, veut enseigner la science des nombres sans fatigue, ou faire pour ses propres besoins, et pour ainsi dire en s'amusant, tous les calculs qui se font avec tension d'esprit et perte énorme de temps. ”

“ Tandis que dans la multiplication tous les groupes d'unités que nous avons à réunir sont égaux, c'est pourquoi un seul nombre suffit pour exprimer combien il y a d'unités dans chacun.
Le nombre qui exprime combien il y a d'unités dans chaque groupe, est le multiplicande. ”