Géométrie

“ Il faut bien distinguer entre la géométrie utile et la géométrie curieuse.
L’utile est le compas de proportion inventé par Galilée, la mesure des triangles, celle des solides, le calcul des forces mouvantes. Presque tous les autres problèmes peuvent éclairer l’esprit et le fortifier ; bien peu seront d’une utilité sensible au genre humain. Carrez des courbes tant qu’il vous plaira, vous montrerez une extrême sagacité. ”

“ La géométrie est la science des vérités qui ont rapport aux lignes, aux surfaces et aux volumes. La connaissance des propositions de la géométrie et des règles qu'elle fournit est utile aux hommes de toutes les classes et leur est souvent indispensable : à l'artisan, pour façonner les matières diverses ; au géographe et au marin, pour mesurer les distances et fixer là position des lieux; à l'architecte, pour construire les édifices ; à l'agriculteur, pour évaluer la surface des champs, etc. ”

“ La géométrie, en nous enseignant que les surfaces et les solides sont bornés par des lignes, nous donne l’idée la plus claire et la plus complète du dessin, qui réside dans les contours... En dernière analyse, dans la pratique comme dans la théorie, il faut reconnaître que la géométrie est la base de la science du dessin. ”

“ Certainement la géométrie est exacte; mais elle n'est pas réelle. Avez-vous rencontré quelque part le triangle abstrait et la ligne droite des géomètres? Où résident les nombres séparés des êtres réels dont les propriétés sont si multiples et si complexes, que la moindre est, sans contredit, celle de pouvoir être dénombrés? Qu'est-ce qui fait enfin l'exactitude des mathématiques? C'est l'étroite simplicité des faits dont elles raisonnent; leurs formules ne sont si précises, et si rigoureuses que parce que leur point de vue est borné. ”

“ Or la géométrie est la science qui initie aux rapports et aux propriétés des limites soit des surfaces, soit des corps ou solides. Les limites des surfaces sont des lignes, et les limites ou extrémités des corps ou solides sont des surfaces. ”

“ Les expériences qui nous ont conduits à adopter comme plus commodes les conventions fondamentales de la géométrie portent sur des objets qui n’ont rien de commun avec ceux qu’étudie la géométrie ; elles portent sur les propriétés des corps solides, sur la propagation rectiligne de la lumière. Ce sont des expériences de mécanique, des expériences d’optique ; on ne peut à aucun titre les regarder comme des expériences de géométrie. ”

“ Il faut dire quelque chose de la Mécanique, que l’on considère communément comme la première application de la géométrie à l’expérience. On oublie en cela que la géométrie et même l’algèbre, comme aussi l’arithmétique, et comme toutes les sciences, sont des sciences de la Nature. ”

“ « Une géométrie est l'ensemble de toutes les notions et de toutes les propriétés qui restent conservées lorsqu'on fait subir à une figure toutes les transformations appartenant à un groupe donné ». A chaque groupe de transformations correspond une géométrie distincte. Ainsi, par exemple, la géométrie élémentaire est l'ensemble de toutes les notions et de toutes les propriétés qui restent conservées après qu'on a fait subir à une figure une similitude quelconque. ”

“ En effet, la géométrie descriptive, plus élégante que la géométrie simple, plus générale dans les rapports qu'elle saisit et les résultats qu'elle présente, est plus applicable à un art qui a pour objet de représenter les corps suivant les lois de la vision, et de faire voir tout ce qui peut résulter, dans l'espace, de leurs formes et de leurs combinaisons ”

“ Ce qui a surtout immortalisé le nom de ce grand homme, c’est l’application qu’il a su faire de l’algèbre à la géométrie, idée des plus vastes et des plus heureuses que l’esprit humain ait jamais eues, et qui sera toujours la clef des plus profondes recherches, non seulement dans la géométrie, mais dans toutes les sciences physico-mathématiques. ”

“ De ces ouvrages, dont un mérite commun fut d'offrir, tous, des preuves convaincantes et multipliées des ressources infinies que la Géométrie pure peut puiser en elle-même, sont nées ces vérités simples et fécondes, qui attestent seules la perfection de la science dont elles sont les véritables bases : des théories, dont le germe se trouvait, inaperçu depuis des siècles, dans les écrits des géomètres, ont apparu, se sont développées rapidement, et ont donné lieu aux méthodes qui constituent la Géométrie récente. ”

“ Géométrie pratique. — La géométrie pratique applique les préceptes de la première, en les exécutant de la main, au moyen des instruments connus pour mesurer tout ce qui peut être mesuré, ou est ce qu'on appelle commensurable ; elle s'étend et est utile à toute profession où l'on se sert de mesure. ”

“ Mais il est d’autre part certain que la mathématique en général et la géométrie en particulier doivent leur existence à notre besoin d’apprendre quelque chose sur la manière d’être des objets réels. Le mot géométrie, qui signifie mesure du terrain, le prouve déjà. ”

“ Pour mieux apprécier la part de chacun des grands géomètres, que nous avons nommés, dans la rénovation scientifique qui inaugure le dix-septième siècle, il importe de dire quelques mots des sciences mathématiques elles-mêmes.
Les Mathématiques peuvent se diviser en deux parties principales : la Géométrie et l'Algèbre.
La Géométrie est la science de l'étendue figurée. On peut la diviser en Géométrie élémentaire et en Géométrie supérieure. ”

“ La Géométrie descriptive donne des méthodes pour représenter exactement, sur un seul plan, tout corps susceptible d’une définition précise, et pour déduire de cette représentation les véritables grandeurs des diverses parties du corps que l’on considère. ”

“ Dans la seconde Géométrie, on regarde la droite, ou le plan, suivant qu'on opère sur un plan ou dans l'espace, comme l'être primitif, ou l'unité qui doit servir à former toutes les autres parties de l'étendue. ”

“ La géométrie nous apprend à étudier les éléments de symétrie d’une figure limitée telle qu’un polyèdre et à découvrir entre ces éléments des relations nécessaires qui permettent de les réunir en groupes. ”

“ La géométrie a pour but la mesure de l'étendue. L'étendue d'un corps est la portion de l'espace occupée par ce corps. Elle a trois dimensions : longueur, largeur, hauteur ou profondeur. On appelle Corps ou solide, ce qui réunit ces trois dimensions ; Surface, ce qui ne réunit que largeur et longueur : c'est la limite extérieure de tout corps ; Ligne, ce qui n'a qu'une dimension, la longueur : c'est la limite d'une surface ”

“ Les lignes et les figures de la géométrie sont très propres pour représenter à l’imagination les rapports qui sont entre les grandeurs, ou entre les choses qui diffèrent du plus et du moins, comme les espaces, les temps, les poids, etc., tant à cause que ce sont des objets très simples, qu’à cause qu’on les imagine avec beaucoup de facilité. ”

“ ICONOLOGIE La géométrie est représentée par une femme, d’âge moyen, couverte d’un voile blanc et transparent. Un globe est à ses pieds et elle trace, avec un compas, un cercle sur un papier où sont déjà d’autres figures. ”

“ Immédiatement après la géométrie vient la science qui étudie la dimension de profondeur ; comme elle n’a suscité encore que des recherches pitoyables, je l’ai passée pour mettre aussitôt l’astronomie ou mouvement des solides. ”

“ Ainsi, par exemple, la géométrie figure dans le tableau général comme une science du premier ordre, appartenant au premier règne embranchement des sciences mathématiques, sous-embranchement des sciences mathématiques proprement dites ; elle se subdivise ensuite en deux sciences du second ordre : la géométrie élémentaire et la théorie des formes ; enfin la géométrie élémentaire se décompose en deux sciences du troisième ordre : la géométrie synthétique et la géométrie analytique ”

“ Ces trois théories sont maintenant connues de tous les géomètres; nous rappellerons seulement ici les caractères distinctifs qu'elles ont permis de donner aux recherches de la Géométrie moderne, et qui consistent en ce que, dans toutes les relations de segments ou d'angles, la règle des signes s'observe, comme dans les résultats de la Géométrie analytique; et que les imaginaires, qui se présentent toujours par couples, comme dans les racines d'une équation du second degré, n'offrent aucune difficulté dans leur interprétation. ”

“ En un mot, tous les phénomènes géométriques quelconques relatifs aux surfaces seront susceptibles d'être traduits par certaines conditions analytiques équivalentes propres aux équations à trois variables, et c'est dans l'établissement et l'interprétation de cette harmonie générale et nécessaire que consistera essentiellement la science de la géométrie analytique à trois dimensions. ”

“ Examinons de ce point de vue un axiome quelconque de la géométrie, par exemple le suivant : par deux points de l’espace on peut toujours tracer une ligne droite, et l’on n’en peut tracer qu’une seule. Comment cet axiome doit-il être interprété dans le sens ancien et comment dans le sens moderne ?
Interprétation ancienne. — Chacun sait ce qu’est une droite et ce qu’est un point. ”

“ C’est pour cela que la géométrie est si précieuse. Une relation géométrique peut remplacer avantageusement une relation qui, considérée à l’état brut, devrait être regardée comme mécanique, elle peut en remplacer une autre qui devrait être regardée comme optique, etc. ”

“ On n'a point encore convenablement senti que le véritable caractère distinctif de notre géométrie moderne, ce qui constitue son incontestable supériorité, consiste à étudier, d'une manière entièrement générale, les diverses questions relatives à des lignes ou à des surfaces quelconques, en transformant les considérations et les recherches géométriques en considérations et en recherches analytiques. ”

“ La matière de la géométrie plane ne diffère pas sensiblement de celle que nous enseignons dans nos écoles ; mais dans l’enseignement de la géométrie dans l’espace, les Américains emploient des procédés d’intuition dont nos professeurs et auteurs d’ouvrages de mathématiques élémentaires pourraient utilement s’inspirer. ”

“ Faisons une dernière remarque avant de terminer ces considérations sur l'application de la géométrie au monde physique. Les figures géométriques sur lesquelles raisonnent les mathématiciens sont des figures idéales ; les figures matérielles auxquelles nous tentons d'appliquer les théories géométriques ne sont pas de vraies figures géométriques : les lignes matérielles ont une certaine épaisseur, les points matériels ne sont pas sans dimensions. ”

“ La Géométrie nouvelle emploie la même chose pour les solides. Une surface à laquelle on donne une hauteur infiniment petite, est l’élément d’un solide, & cet élément se transforme en ce solide même par le calcul intégral. ”

“ La recherche qui suit est un nouvel essai dont le but est d’établir la Géométrie sur un système simple et complet d’axiomes indépendants et de déduire de ceux-ci les principaux théorèmes géométriques, de telle sorte que le rôle des divers groupes d’axiomes et la portée des conclusions que l’on tire des axiomes individuels soient mis en pleine lumière autant qu’il est possible. ”

“ Géométrie, — Les volumes, les surfaces et les lignes ont des formes diverses, et, par suite, des-propriétés particulières à chacune de ces formes. Ainsi les propriétés de la sphère ne sont pas celles du cube; de même toute ligne courbe ne jouit pas des propriétés de la circonférence. La géométrie a pour but d'étudier ces propriétés diverses, mais l'objet principal de cette science, c'est la mesure des volumes, des surfaces et des ligne s.
RÉSUMÉ.
Le volume d'un corps est l'espace qu'il occupe. ”

“ Par où l'on voit que la géométrie, et en général toute science mathématique, dans son ensemble comme dans ses moindres détails, est constamment soumise à la loi de l'analyse sinthétique ou de la synthèse analytique. ”

“ À titre d’exemple, citons comment est caractérisée la méthode à suivre dans l’enseignement de la géométrie :
La géométrie ne peut s’acquérir par la simple lecture des démonstrations d’un livre ni par un exposé oral ; il faut la compléter de travaux indépendants, attrayants et stimulants. La géométrie dans les écoles américaines est conçue pour développer le talent créateur. Les matériaux de la géométrie sont simples, concrets et admettent un nombre infini de combinaisons simples ou complexes. La géométrie élémentaire manque de méthode générale de démonstration. ”

“ C'est une grave erreur qui a eu cours assez longtemps, et trop longtemps pour l'intérêt des services publics, et dont ont gémi les véritables ingénieurs, les seuls qui comprennent bien toute la puissance et toute l'utilité de la géométrie descriptive, géométrie nouvelle qui, depuis MONGE et grâce à lui, doit être reconnue comme étant une véritable science. ”

“ Dans le système des modernes, la géométrie est, au contraire, éminemment générale, c'est-à-dire, relative à des formes quelconques. Il est aisé de comprendre d'abord que toutes les questions géométriques de quelqu'intérêt peuvent être proposées par rapport à toutes les formes imaginables. C'est ce qu'on voit directement pour les problèmes fondamentaux, qui constituent, d'après les explications données dans cette leçon, l'objet définitif de la géométrie, c'est-à-dire, les rectifications, les quadratures, et les cubatures. ”

“ La géométrie descriptive est l'art de représenter les objets en les projetant sur des plans, que pour plus de simplicité et de clarté l'on choisit ordinairement horizontaux et verticaux, et au moyen de coupes de ces objets par des plans verticaux. ”

“ En même temps qu'une étude approfondie de l'état actuel de la Géométrie pure tend à justifier la division systématique que nous avons établie, elle fait voir, par le manque de généralité et de caractère précis d'une foule de théorèmes qui se rattachent aux méthodes que nous venons d'indiquer, que ces méthodes elles-mêmes n'ont point encore l'étendue, la fécondité et le degré de puissance désirables. ”

“ ÉLÉMENS DE GÉOMÉTRIE.
- PREMIÈRE PARTIE, où l'on considère les Plans et la Sphère.
NOTIONS PRÉLIMINAIRES.
Je vais commencer par exposer en détail la manière dont on peut représenter, à l'aide de plusieurs plans, les différentes parties de l'espace, et en faire connaître les dimensions.
i. La position d'un point sur un plan est donnée toutes les fois qu'on connaît celle de deux lignes qui passent par ce point, puisqu'il ne peut être qu'à leur intersection. ”