Interpolation

“ Or, en opérant cette même généralisation absolue dans la loi pratique particulière (47) , qui donne l'intégration immédiate de toute fonction y par ses valeurs particulières quelconques (63) , et en prenant alors la différentielle de cette loi (47) , on obtiendra, pour la détermination générale de cette fonction /, au moyen de ses valeurs particulières (63) , l'expression (69)
qui est notoirement la formule générale d'interpolation. ”

“ En d’autres termes, avons-nous simplement une mauvaise copie de la seule version qui ait existé, ou la rédaction que le scribe du XVe siècle nous a conservée tant bien que mal n’était-elle que le remaniement d’une chanson plus ancienne ? Nous croyons avoir une preuve matérielle de ce remaniement : une des laisses où subsistent des assonances est précisément l’avant-dernière du poème, et l’inachèvement de la mise en rime à la fin des chansons a été signalé [34] comme un des signes de l’interpolation. ”

“ Cette répartition de la Vengeance en métopes a eu pour résultat de multiplier les appels aux interpolateurs et de faciliter leurs entreprises. Dans la frise continue des deux autres pièces, Récits et Voyages, nous avons signalé quelques petits fragments ou quelques longs morceaux d’une autre époque. Dans les premiers chants de la Poésie, les « bâtards » et les « superflus » n’émergent que de-ci de-là ou ne font que taches sans grandes proportions : au total, sur quelque 3.800 vers, 435 interpolations ou insertions, — tout juste un huitième. ”

“ Gt (£) est fermé. En effet, si A est un point limite de G| (E) , tout intervalle contenant A contient des points de GT (£) et Y a une oscillation au moins égale à £ dans cet intervalle.
Pour le nouvel énoncé de la condition d'intégrabilité, je vais faire appel à une notion qu'on retrouvera dans la suite : celle d'ensemble de mesure nulle. C'est un ensemble dont les points peuvent être enfermés dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d'intervalles dont la longueur totale est aussi petite que l'on veut.
Un point, un groupe intégrable sont des exemples d'ensembles de mesure nulle. ”

“ INTÉGRATEURS ET INTÉGRAPHES Les intégrateurs sont des instruments qui effectuent mécaniquement la sommation d’une série infinie de grandeurs infiniment petites, qu’il s’agisse d’une aire limitée par une courbe, d’un travail mécanique, etc. Mais les planimètres, les totaliseurs dynamométriques, etc., ne donnent que le résultat final de l’intégration. Abdank-Abakonowicz est allé plus loin ; ses intégraphes donnent, sous forme d’un tracé graphique, la loi complète qui régit la sommation, en un mot ce qu’on peut appeler la courbe intégrale. ”

“ Donc, comme l'unité est l'essence du point, l'essence de la ligne est le nombre deux, l'essence de la surface le nombre trois, l'essence du solide le nombre quatre. Mais partout, hors du point, il y a des intervalles, car partout l'indéterminé se mêle à son contraire. Les milieux ou intervalles ont, dans la nature, la même importance que dans la musique. Le solide le plus simple, la pyramide triangulaire, résulte de quatre points séparés par trois intervalles. Passez aux êtres vivants. 11 y a, pour cette sorte d'êtres, quatre degrés d'existence, comme il y a quatre principes de vie. ”

“ On nomme intervalle la distance qui sépare deux sons.
On mesure un intervalle par le nombre de degrés qu’il contient, y compris le son grave et le son aigu. Le nombre de degrés est exprimé par le nom de l’intervalle.
78. L’intervalle est ascendant ou descendant.
Il est ascendant lorsqu’on le mesure du grave à l’aigu. (Lorsque la première note nommée est le son grave.)
Ex.
Il est descendant lorsqu’on le mesure de l’aigu au grave. (Lorsque la première note nommée est le son aigu.)
Ex.
Un intervalle doit toujours être considéré comme ascendant à moins que le contraire ne soit spécifié. ”

“ Mon imagination cherche un objet sensible ; des formes purement algébriques ne lui offriraient rien que de vague. La division du volume en tranches ou particules m’offre un tableau, éclaire mon esprit, le guide, et facilite la solution. Je regarde l’une de ces particules comme l’élément de la quantité totale, que je considère en effet comme la somme de tous ces éléments : je cherche donc l’expression différentielle qui doit représenter cette particule, en négligeant ce que les règles du calcul m’autorisent à omettre. ”

“ En effet, prenons une division de l’intervalle ; la variation correspondante pour les termes de la suite tend vers la variation relative à la fonction limite et à la division employée ; donc, cette variation est au plus égale à et il en est de même de la variation totale de la fonction limite.
Ce qui précède nous permettrait de citer des fonctions à variation totale bornée. Une fonction croissante est, en effet, une fonction à variation totale finie et égale à ; de même, une fonction décroissante est à variation bornée. ”

“ C'est ce système complexe d'associations, c'est ce tableau de distribution, pour ainsi dire, qui est toute notre géométrie, ou, si l'on veut, tout ce que notre géométrie a d'instinctif. Ce que nous appelons notre intuition de la ligne droite ou de la distance, c'est la conscience que nous avons de ces associations et de leur caractère impérieux. ”

“ Ainsi la matière, dans le changement, est sujet et de plus sujet indéterminé. — Ces deux caractères de la matière, nous pouvons les lui retrouver par une analyse faite du point de vue statique. Considérons une chose artificielle qui ait de l’unité et, dans une certaine mesure du moins, constitue un être. ”

“ Quels que soient le mouvement du système et les variations qu’il éprouve par l’action mutuelle de ses parties, la somme des produits de chaque corps par l’aire que sa projection trace autour du centre commun de gravité, sur un plan qui, passant par ce point, reste toujours parallèle à lui-même, est constante. Le plan sur lequel cette somme est un maximum conserve une situation parallèle pendant le mouvement du système ”

“ On sait, en effet, que la méthode générale pour isoler les fonctions dans les équations différentielles simultanées, consiste essentiellement à former des équations différentielles, séparément relatives à chaque fonction, et dont l'ordre est égal à la somme de tous ceux des diverses équations proposées. Cette transformation peut s'effectuer constamment. ”

“ Eα s'obtient en enlevant de l'intervalle considéré (a, b) les points intérieurs à des intervalles δ1, δ2 , . . . , qui forment une suite dénombrable si E est non dense dans tout intervalle, ce qui est le seul cas qui nous intéresse (2) .
Définissons une fonction φ (x) par la condition d'être nulle, pour x = a, égale à 1 pour x = b. En tous les points de <5,,
φ (x) =1/2 . En tous les points de δ2, φ (x) = si o2 est entre a
et d1 ; et φ (x) = si â2 est entre δ1, et b. D'une façon générale,
ayant attribué à o (x) , dans o,, d2, les valeurs A1,
Δ2, . . ”

“ Deux séries qui diffèrent seulement par le nombre de leurs unités, leur amplitude absolue étant la même, sont équivalentes ; deux séries dont les unités sont égales et l’amplitude diffère, sont semblables ou homologues ; deux séries qui ne diffèrent ni par l’amplitude ni par les unités sont identiques.
226. La propriété qu’a la série d’embrasser, sous une même amplitude, un nombre toujours croissant d’unités, joue un grand rôle dans les sciences et les arts. ”

“ Quelle que soit l'extrême importance de la théorie des isopérimètres, et quoique la méthode des variations n'ait eu primitivement d'autre objet que la résolution rationnelle et générale de cet ordre de problèmes, on n'aurait cependant qu'une idée incomplète de cette belle analyse, si on bornait là sa destination. ”

“ Ce théorème est souvent utile; on peut l'énoncer ainsi : Si un ensemble E contient un ensemble E, et est contenu dans un ensemble E2, E, et E2 ayant même puissance, E, E,, E2 ont même puissance.
(2) Si par points d'un intervalle on entend les points intérieurs à cet intervalle, la considération de G2 est même' inutile.
que deux quelconques de ses points puissent être joints par une courbe ne passant que par des points de l'ensemble ; nous savons en effet qu'un segment, un polygone, une circonférence, une ellipse sont d'étendue superficielle extérieure nulle. ”

“ Posons
et, sous la forme d'intégrale définie d'après le théorème général
Vous voyez que φ (u) est constante dans les intervalles (o, α) ,
(β, + α) et, dans l'intervalle (a, (3) , elle admet une dérivée
Mais j'abuse de votre patience et vous devez m'avoir laissé depuis longtemps.
La théorie des fonctions elliptiques peut-elle donner un exemple de ma théorie où la fonction cp (u) est réellement discontinue dans tout intervalle? C'est ce que j'aurais à examiner, mais j'ai peu d'espoir que cette incursion dans votre domaine soit suivie de succès. ”

“ Un intervalle est chromatique, quand il ne peut être formé dans aucun ♦ on, sans le secours de l'altération ; en d'autres termes, quand les deux notes lui le produisent ne pourraient pas appartenir à une même gamme diatonique.
NOTA. — Nous indiquerons ci-après, à la page 133, le nombre et la nature des intervalles appartenant, soit à la gamme majeure, soit à la gamme mineure, ainsi que les degrés sur lesquels ils se produisent.
112. On renverse un intervalle en transportant le son grave de cet intervalle au-dessus du son aigu ; ou le son aigu au-dessous du son grave. ”

“ Les intervalles de même nom, quelles que soient leurs modifications, compteront le même nombre d'espaces diatoniques.
Ils varieront par la nature de ces espaces, mais non par leur nombre : plus l'intervalle sera grand, plus il contiendra de tons ; plus il sera petit, plus il renfermera de demi-tons; mais la somme des espaces sera toujours la même. ”

“ Associés en proportions variées, ils forment tous ces groupemens, dont le nombre est en quelque sorte infini. Les forces qui les rattachent s’équilibrent des façons les plus diverses, et ces équilibres, toujours changeans, se succèdent à travers des métamorphoses sans fin. ”

“ Dans la nouvelle Géométrie, il y a le calcul différentiel, & le calcul intégral. Calculus differentialis, calculus integralis. Le calcul différentiel, est la méthode de différentier les quantités ou grandeurs ; c’est-à-dire, la méthode de trouver une quantité infiniment petite, qui prise une infinité de fois, égale une quantité ou grandeur donnée. Ce que nous appelons différences, les Anglois l’appellent fluxions. Le calcul intégral, est la manière de former les différences, c’est-à-dire, la somme ou la grandeur égale à une infiniment petite donnée, prise une infinité de fois. ”

“ Les travaux de Physique mathématique montrent avec éclat le talent de l'illustre analyste; le problème de l'équilibre de la chaleur dans un ellipsoïde homogène, le problème de Gauss sur la distribution à la surface de l'ellipsoïde d'une manière attractive ou répulsive, de manière qu'en chaque point le potentiel ait une valeur donnée, sont traités par une méthode qui est un chefd'œuvre de clarté et de simplicité. ”

“ La transformation est évidemment déterminée quand on se donne le plan fondamental et deux semi-plans réciproques.
2. Voici les propriétés fondamentales de cette transformation :
A un système de semi-plans parallèles correspond un système de semi-plans parallèles; à une semi-sphère correspond une semi-sphère qui peut se réduire à un point; à un semi-cône de révolution, une semi-surface de même nature qui peut se réduire à un cylindre de révolution ou à une droite.
On peut toujours effectuer une transformation telle que quatre semi-sphères données se transforment en quatre points. ”

“ J’ai appris autrefois à distinguer l’analyse et la synthèse en géométrie comme deux méthodes inverses l’une de l’autre. La synthèse descend des principes aux conséquences ; l’analyse remonte des conséquences aux principes ; la synthèse nous conduit du simple au complexe, et l’analyse du complexe au simple. ”

“ La solution de cette seconde question fait connaître distinctement quel rapport il y a entre les intégrales définies que nous venons d’employer, et les résultats de l’analyse que nous avons appliquée aux solides d’une figure déterminée. Lorsque, dans les séries convergentes que cette analyse fournit, on donne aux quantités qui désignent les dimensions, une valeur infinie ; chacun des termes devient infiniment petit, et la somme de la série n’est autre chose qu’une intégrale. ”

“ Démonstration admirable, en effet, et tellement imprégnée des éléments intimes de la question, qu’un jeune géomètre, M. Sturm, vient d’en faire usage pour établir la vérité du beau théorème à l’aide duquel il détermine, non de plus simples limites, mais le nombre exact de racines d’une équation quelconque, qui sont comprises entre deux quantités données. ”

“ Telle est, par aperçu, la manière générale dont la méthode des variations s'applique à toutes les diverses questions qui composent ce qu'on appelait la théorie des isopérimètres. On aura sans doute remarqué dans cette exposition sommaire, à quel degré s'est trouvée utilisée par cette nouvelle analyse la seconde propriété fondamentale de l'analyse transcendante, appréciée dans la sixième leçon, savoir: la généralité des expressions infinitésimales pour représenter un même phénomène géométrique ou mécanique, en quelque corps qu'il soit considéré. ”

“ C'est là, au surplus, le principe de tous les levers que l'on traduit uniquement en constructions graphiques. On traite alors comme n'existant pas tout ce qui, à l'échelle du plan, n'est pas appréciable.
166. Ce qui est vrai d'une erreur individuelle d'excentricité pourrait ne plus l'être pour plusieurs erreurs d'excentricité se combinant ensemble. Il est donc de quelque intérêt de pouvoir se rendre compte de l'influence que ces erreurs, combinées entre elles, peuvent avoir sur la position de chaque sommet du polygone. ”