Classification décimale

“ C’est une classification systématique avec notation par chiffres. Toutes les connaissances humaines sont réparties en dix grandes classes, subdivisées à leur tour en sous-classes, divisions, subdivisions, n’ayant à aucun degré un sectionnement supérieur à dix. De cette manière, l’ensemble du savoir représente l’unité, chaque classe ou partie est représentée par une fraction décimale exprimant des déciclasses, centiclasses, milliclasses, etc. Pour facilité on supprime le 0, qui se reproduirait devant chaque nombre classificateur. Exemple :
500 Sciences naturelles ”

“ La classification décimale n'est qu'un moyen, un instrument, un outil qu'il faut savoir reje- ter lorsqu'il ne rend plus de services. Quand, ma documentation rassemblée, je serai à même de dresser le plan de l'article ou des conférences, la table des matières de la thèse ou du livre, je transporterai mes fiches dans un nouveau fichier et je les répartirai, à l'aide de guides, chapitre par chapitre, paragraphe par paragraphe, selon les divisions nouvelles que j'aurai décidées. ”

“ Dans ces sortes de nombres décimaux où l'on peut prendre autant de "chiffres que' l'on veut à la suite de la virgule, parce qu'ils, peuvent se prolonger ainsi indéfiniment par la .répétition d'un certain nombre de chiffres, la partie décimale se nomme fraction décimale périodique. ”

“ Lorsque la division donne un reste, pour compléter le quotient par des décimales, on ajoute le nombre de zéros nécessaires pour le nombre de décimales que l'on veut obtenir, et ensuite on continue l'opération comme à l'ordinaire, en ayant soin de séparer la partie entière de la partie décimale par une virgule. ”

“ DÉFINITIONS. On appelle fractions décimales des fractions composées de parties de l'unité de 10 en 10 fois plus petite. Les chiffres qui représentent les parties décimales s'appellent décimales ou chiffres décimaux.
Un nombre qui renferme des décimales s'appelle nombre décimal. La virgule qui sépare les décimales du chiffre des unités s'appelle virgule décimale. ”

“ R. Peur réduire les décimales en fractions ordinaires, il suffit de retrancher le zéro qui tient la place des unités, et la virgule, et de donner pour dénominateur au nombre des décimales, l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y avait de chiffres décimaux. ”

“ Le plus souvent, dans l'énoncé d'un nombre décimal, au lieu d'indiquer séparément le nombre de dixièmes, le nombre de centièmes, le nombre de millièmes, etc., on énonce la fraction décimale comme un seul nombre à la suite duquel on met le nom de la dernière unité décimale. ”

“ De plus, lorsque l’on a à comparer les grandeurs de plusieurs fractions, il est commode qu’elles aient le même dénominateur, condition facilement réalisée si elles ont la forme décimale. Aussi arrive-t-on plus facilement à avoir l’appréciation instinctive des grandeurs relatives lorsque l’on se sert de l’échelle décimale ”

“ Lorsque les deux facteurs d'un produit ont plusieurs chiffres décimaux, le produit, d'après la théorie, doit avoir autant de chiffres décimaux qu'il y en a dans les deux facteurs ; mais rarement dans la pratique on les garde tous, on rejette ordinairement tous ceux qui expriment des unités décimales plus petites que l'unité décimale désignée pour le degré d'approximation du produit. ”

“ On obtient la valeur d'une fraction décimale avec une limite d'erreur relative égale à une unité décimale d'un certain ordre, en prenant sur la gauche de cette fraction, à partir de son premier chiffre significatif, autant de chiffres plus un que l'indique l'ordre de cette unité décimale, et laissant le dernier chiffre conservé invariable ou l'augmentant d'une unité. ”

“ Tout nombre qui divise un produit de deux facteurs et qui est premier avec l'un des facteurs, divise l'autre. ,
C'est surtout à la pratique du calcul des nombres décimaux .qu'il est indispensable d'exercer les élèves, puisque, la plupart du temps, ils auront à opérer sur de tels nombres. Il est rare que les données d'une question soient des nombres entiers; ce sont habituellement des nombres décimaux qui ne sont même pas connus rigoureusement, mais seulement avec une approximation décimale donnée ”

“ Définition des nombres décimaux. — 171. Différentes manières dont peut s'énoncer la valeur d'un chiffre décimal; lecture d'un nombre décimal. - 172. On peut ajouter des zéros à la droite d'un nombre décimal. - 175. Moyen de multiplier ou de diviser un nombre décimal par une puissance de 10. — 174. Une unité décimale d'un certain ordre est toujours plus grande que la somme des nombres exprimés par les chiffres qui la suivent. ”

“ Après avoir bien compris la série des différents ordres d'unités continuées indéfiniment à droite et à gauche de l'unité principale (168) , on voit, comme nous l'avons déjà fait remarquer (169) , que le système des décimales n'est qu'une extension de celui adopté pour les nombres entiers ; d'un autre côté, on sait que les décimales, de même que les frac-
tions ordinaires qui leur ont donné naissance (162) , expriment des quantités moindres que l'unité. Or, il est bien évident qu'une fraction décimale doit être égale à une fraction ordinaire de telle ou telle dénomination (185) . ”

“ La remarque précédente est importante; on en conclut qu'un même nombre ne peut pas s'exprimer de deux manières différentes en fractions décimales. Si, en effet, deux chiffres décimaux sont différents, leur différence exprimera au moins une unité décimale de l'ordre qui leur correspond, et ne pourra pas être compensée par une différence en sens inverse entre les chiffres suivants. ”

“ La grandeur incommensurable, considérée ainsi comme limite de deux séries de nombres frac- tionnaires, s'appelle nombre incommensurable.
La manière la plus simple d'opérer consiste à employer la division décimale. On cherchera combien la longueur contient de mètres, combien le reste de décimètres, combien le second reste
de centimètres, etc. ”

“ RÈGLE. Pour diviser un nombre décimal par un nombre entier, on fait la division comme- à l'ordinaire, en ayant soin. de placer une virgule au quotient avant d'abaisser la première décimale du dividende. Quant à la fraction qui complète le quotient, elle est rapportée à l'unité du dernier ordre décimal.
Remarqué. On pourrait raisonner ce 1" cas de ia division en prenant le 23e des unités des différents ordres du dividende, comme on l'a fait pour les nombres entiers. ”

“ POUR réduire une fraction absolue en fraction décimale, 1 faut ajouter au numérateur autant de zéros qu'on reut avoir de chiffres décimaux, et le diviser par le dénominateur : on sépare du quotient autant de décimaes qu'on a ajouté de zéros au numérateur, et pour marjuer ces décimales, on met au quotient, à la place des mités, un zéro qui est suivi d'une virgule. ”

“ Le dénominateur de la fraction irréductible, génératrice d'une fraction décimale périodique mixte, est divisible par l'un ou Vautre des facteurs 2 et 5 pris avec un exposant égal au nombre des chiffres décimaux qui, dans la fraction décimale, précèdent la période. ”

“ Pour mettre sous formé décimale une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10, on supprime-lè dénominateur, et l'on sépare et la rlroite du numérateur autant de décimales qu'il y a d'unités dans le degré de la puissance. ”

“ Lorsque les premières décimales ne manqueront pas, il sera aussi facile d'écrire une fraction décimale qu'un nombre entier ; mais lorsque ce sera le contraire, on pourra se servir du moyen suivant : On comptera combien il faut de chiffres pour écrire le nombre proposé, et on retranchera le nombre qui indique combien il. en faut, de celui qui indique le rang auquel doit être la dernière décimale pour exprimer les unilés décimales de l'ordre demandé ; le reste indique le nombre des zéros qui doit suipre immédiatement la virgule. ”

“ Il pourrait arriver qu'aucune des subdivisions décimales de l'unité principale ne fût contenue un nombre exact de fois dans la grandeur à mesurer; dans ce cas, on n'en trouverait qu'une valeur approchée, bien qu'il pût cependant y avoir une commune mesure qui serait alors une partie aliquote non décimale de l'unité. 255. S'il y a une commune mesure entre une grandeur et son unité cette grandeur est susceptible d'être mesurée exactement. ”

“ Pour nous, la classification, si l'on en veut une, n'est que l'énoncé de la science réelle constituée par la série en termes communs et différentiels qui prouvent à l'œil comme un schématisme linéaire qu'il y a unité de direction et progression de résultats. ”

“ Essayons d’abord la division de l’intervalle entier en six parties égales. Nous pourrons employer la troisième formule (17) , la deuxième (18) ou la première (21) . Voici le tableau des résultats qu’on en obtient et des erreurs qui les affectent, rapportées à la douzième décimale comme unité.
Le premier de ces résultats, qui répond à la très-simple formule (17) , est donc exact dans les six premiers chiffres décimaux.
26. Essayons, en second lieu, la division de l’intervalle en douze parties égales. Les aliquotes nous permettent d’employer les formules qui suivent ”

“ Une fraction décimale n'a pas de partie entière, par quel chiffre la remplace-t-on ?
23. Quel nom donne-t-on aux chiffres décimaux qui occupent le troisième rang à droite de la virgule ? — le premier rang ? — le quatrième rang ? — le deuxième rang ?
24. Si un ordre manque dans une fraction décimale, par quel chiffre le remplace-t-on ?
25. Comment rend-on un nombre entier 10, 100, 1000... fois plus grand ?
26. Rendez le nombre 36 cent fois plus grand et expliquez votre manière de faire.
27. Comment rend-on 10, 100, 1000.,. fois plus petit un nombre entier terminé par des zéros ? ”

“ Exemple. Dans la question 30 où il y a un nombre qui a des décimales, et l'autre qui n'en a pas, il faut, pour avoir la vraie valeur au quotient, y ajouter autant de zéros que l'autre nombre a de décimales. ”

“ Lorsque les facteurs delà division contiendront des chiffres décimaux, on regarde s'ils en contiennent chacunle même nombre; si un des deux en a moins que l'autre, on lui ajoute des zéros jusqu'à ce que ses chiffres décimaux et les zéros ajoutés soient en même nombre que les chiffres décimaux de l'autre facteur. ”

“ R, Le mètre et le gramme admettent tous les multiples et tous les sous-multiples ; l'are n'admet qu'hecto et centi ; le stère n'admet que déca et déci; le litre les admet tous, excepté myria et milli ; et le franc n'admet que les sous, - multiples , sous les noms de décime, centime et millième.
95. D. Pourquoi le système métrique est-il appelé décimal ?
R. Le système métrique est appelé DÉCI-
MAL, parce que ses multiples expriment des nombres qui égalent dix, cent, mille, dixmille unités, et ses sous-multiples, des nombres qui sont la dixième, la centième, la millième partie de l'unité. ”

“ Pour avoir, sur cette échelle, 410 2p 5°, on placera le compas de b en a, et l'ouverture ab sera la demandée (Voyez le n°. 292) .
N°. 289. Echelle décimale ou métrique. Le système décimal présente l'avantage que sur une même échelle les dénominations et les valeurs peuvent changer, mais la proportion reste toujours la même ; il suffit d'écrire des chiffres au-dessus et au-dessous des divisions qui indi-
quent des valeurs différentes ”

“ MÉTHODE. Si les termes d'un rapport sont des nombres décimaux , on parvient à les exprimer par des nombres entiers, en effaçant la virgule, après avoir rendu le même, dans chacun des termes proposés, le nombre des décimales , s'il ne l'était pas d'abord. ”

“ Il suit de ce qui précède, que toute quan- tité décimale, plus grande ou plus petite que l'unité, ayant un dernier chiffre décimal, pourra toujours être envisagée comme étant un terme du rang marqué par le nombre de ses unités sous-décuples, augmenté de 1 , de la série par diffé- rence qui aura pour premier et dernier terme, respectivement la partie décuple placée sur la gauche de la virgule, et celleci augmentée de 1 j et dont la raison sera exprimée par une seule des unités du nombre décimal donné. ”

“ Or, on a, à moins d’une demi-unité décimale du 10.me ordre
d’où
ce qui donne successivement
La véritable valeur étant
il s’ensuit que l’autre n’est guère fautive de plus d’une unité décimale du 7.me ordre ”

“ Lorsqu'on a un nombre décimal à multiplier par une fraction , ou bien une fraction par un nombre décimal , on opère sur ce nombre décimal comme sur un entier, et au produit on rétablit les chiffres décimaux négligés. ”

“ Il n'est pas évident que la classification soit en elle-même une opération plus aisée que la décomposition analytique des données d'un problème mathématique. Néanmoins un esprit déjà riche de notions concrètes et de souvenirs précis éprouve le besoin de classer les faits avant d'être apte à se poser des problèmes généraux et à les décomposer. ”