Quades

“ Nous avons déjà dit plus haut que le quadrilatère est un polygone de quatre côtés, ou, si l'on veut, la surface renfermée entre quatre lignes ou côtés.
Les côtés peuvent être de longueurs différentes; ils peuvent être ou ne pas être parallèles; l'ouverture des angles peut varier ; de là des quadrilatères de formes très-diverses, parmi lesquels on distingue le trapèze 1, le parallélogram me 2, le losange 3, le rectangle et le carré. ”

“ PROBLÈME IX.
Soit le quadrilatère gauche ABCD (fig. 220) ; je dis que les trois droites EG, FH, IK, qui joignent les milieux des côtés opposés et des diagonales AC, BD de ce quadrilatère passent par le même point, et se divisent mutuellement en deux parties égales.
Je remarque, en effet, que chacune des droites EF., GH est parallèle à la diagonale AC, et égale à sa moitié; par conséquent
le quadrilatère EFGH est un parallélogramme, et les droites EG, FH, qui sont ses diagonales, se coupent mutuellement en deux parties égales. ”

“ I. Si l’on joint, par des droites, le milieu de chacune des diagonales d’un quadrilatère à un point de l’autre diagonale, qui soit autant éloigné de l’une de ses extrémités, que le point d’intersection des deux diagonales est éloigné de son autre extrémité ; l’intersection de ces deux droites sera le centre de gravité de l’aire du quadrilatère.
II. Soit déterminé, sur chacune des deux diagonales de la base d’une pyramide quadrangulaire, un point qui soit autant éloigné de l’une de ses extrémités, que le point d’intersection des deux diagonales est éloigné de son autre extrémité. ”

“ Disons d'une façon générale que les pions se mettent toujours aux angles des petits carrés. Les 4 noirs se mettent indifféremment aux sommets de 4 angles quelconques des quadrilatères composant la croix, par exemple sur les points r, u, y, z, ou tout aussi bien aux points s, r, t, u. Quant aux pions blancs, ils se placent fort symétriquement : on en
met 16 sur les 2 rangées verticales de l'extrémité gauche du quadrilatère, c'est-à-dire en x, p, e, a, b, f, i, j, et en g, q, o, c, d, l, k, n, et de même les 16 autres sur les 2 rangées verticales correspondantes de la droite du quadrilatère. ”

“ Dans le quartier de réduction, l'échelle qui existe sur un des côtés seulement de notre quadrant est répétée sur l'autre côté; et, par les divisions de ces deux échelles, sont menées des perpendiculaires qui se coupent à angle droit en couvrant la surface du quadrant d'un treillis à mailles carrées. Du centre, on trace encore des séries de quarts de cercles qui joignent les divisions de même rang et reportent ces divisions sur les rayons obliques du quadrant. ”

“ Quadra, s. m. (Architect. rom.) ce mot latin signifie tantôt le filet, tantôt le petit quarré d’une moulure. Il est appellé quadra, parce que c’est un membre quarré qui sert comme de plinthe à la base du piédestal.
Quadra, (Littérat.) ce terme désignoit chez les Romains, 1°. une assiette de bois, dans laquelle le petit-peuple alloit recevoir son pain aux distributions publiques ; & cette assiette étoit la marque (tessera) , à laquelle on reconnoissoit ceux qui devoient avoir part à cette distribution. ”

“ QUADRIVII, dieux qui, chez les Romains, présidaient aux carrefours.
QUADRUMANE (des deux mots latins quatuor, quatre, et manus, main) , terme de zoologie désignant les animaux de l'ordre des mammifères qui ont le pouce séparé aux pieds de derrière comme à ceux de devant. Les quadrumanes, parmi lesquels on range les singes, les sapajous, les makis ou lémuriens et les ouistitis, sont les animaux les plus rapprochés de l'homme.
QUADRUPÈDES (du latin quatuor, quatre, et pes, pied) , nom général de tous les animaux à quatre pieds. ”

“ Considérons deux quadriques de révolution Q1, Q2 à axes parallèles,
disons verticaux. Toute quadrique Q passant par leur intersection est une quadrique de révolution à axe vertical; tous les axes sont dans un même plan. Il faut noter pourtant que la quadrique Q0 dont l'axe est la droite de l'infini du plan des axes n'est pas vraiment de révolution : Qo est le cylindre parabolique projetant l'intersection sur le plan des axes. ”

“ On dit aussi le coude d’une branche d’arbre en termes de jardinage. C’est l’angle que fait une branche taillée immédiatement sur une autre, & si court, qu’il n’y reste pas le moindre ergot.
Coude signifie aussi, chez les Architectes & les Maçons, un angle fort obtus que fait une muraille, un chemin, & qui l’éloigne un peu de la ligne droite. Vous avez enjambé sur mon héritage par le moyen d’un coude que vous avez fait en rebâtissant notre mur mitoyen. Le coude est un jarret saillant. ”

“ Les côtés du quadrillage sont parallèles aux axes des coordonnées rectangulaires de la projection. Les côtés verticaux des quadrillages ne sont donc pas dirigés vers le Nord. Pour les points situés à l'Est du point central, le méridien en chaque point, qui donne la direction du Nord, est incliné vers la gauche par rapport à la verticale du quadrillage d'un angle d'autant plus grand qu'il est plus éloigné du point central. Pour les points situés à l'Ouest du point central, le méridien est dirigé vers la droite de la verticale du quadrillage. ”

“ Démonstration. En effet, dans les deux quadrilatères les angles en sont égaux comme droits ; de plus, il est aisé de voir que les angles et du premier sont les supplémens respectifs des angles et du second ; donc leurs angles et sont aussi supplément l’un de l’autre ; ce qui prouve que le quadrilatère déjà circonscrit à un cercle, est inscriptible à un autre cercle.
THÉORÈME XII. Dans tout quadrilatère à la fois inscrit à un cercle et circonscrit à un autre, les centres des deux cercles et le point de concours des diagonales appartiennent tous trois à une même ligne droite. ”

“ Si l'on a b > a, l'arc rencontre BX en un point A et son
prolongement en A'; et il y a une seule solution, c'est le triangle ABC ; l'angle opposé à b dans le triangle A'BC étant le supplément de l'angle donné B.
§ 3. — Quadrilatères.
DÉFINITIONS.
273. On distingue parmi les quadrilatères : 1° Le parallélogramme, dont les côtés opposés sont parallèles ; 2° Le losange, dont les quatre côtés sont égaux; 3° Le rectangle, dont les angles sont droits.
40 Le carré, dont les angles sont droits et les côtés égaux.
5° Le trapèze, dont deux côtés opposés sont parallèles. ”

“ Le Quaker s'essuya le doigt avec son mouchoir, parce que l'épingle de la chemisette l'avait piqué. Je m'étais levée sur le coude au premier moment, et depuis lors je ne pouvais ni bouger ni parler. Quand le Quaket, en se retournant, me vit ainsi, bouche béante à le regarder, il mit un doigt sur ses lèvres ; puis il me salua de la main, comme il avait coutume de faire, et rentra dans le cabinet de toilette. Par où put-il sortir de la maison? Dieu seul le sait, car toutes les portes étaient fermées.
J'allai vers la signora dès que je pus me lever. Je ne me doutais pas encore du malheur. ”

“ QUARTO, (Librairie.) un livre in-quarto est celui dont la feuille est pliée en quatre.
Quarto, s. m. (Comm.) que l’on appelle plus ordinairement quartant, petite futaille qui fait le quart d’un muid, d’une queue, ou de quelqu’autre semblable tonneau. Voyez Quartaut. ”

“ Qui est ployé, qui fait un angle, un coude. Angulatus, inflexus. Il y a beaucoup d’outils qui sont coudés.
COUDÉE, s. f. mesure dont usoient les Anciens, & surtout les Hébreux, qui étoit prise sur la longueur ordinaire du bras de l’homme depuis le coude jusqu’au bout de la main. Cubitus. Elle avoit en sa moyenne grandeur un pié & dix pouces de roi. La plus petite n’avoit qu’un pié & cinq pouces : & la plus grande, ou coudée géométrique, étoit de deux piés & deux pouces de roi. Le Père Mersenne fait la coudée hébraïque d’un pié, quatre doigts & trois lignes, par rapport au pié du Capitole. ”

“ THÉORÈME VII. Dans tout quadrilatère circonscrit, la somme de deux angles opposés quelconques est égale à la somme des angles opposés aux sommets formés par les droites qui joignent les points de contact des côtés opposés ; pourvu que l’on prenne ceux qui regardent les deux angles restans du quadrilatère.
Ce théorème, dont la démonstration est fort simple, est dû à M. Poncelet, (Propriétés projectives, pag. 284) .
THÉORÈME VIII. Dans tout quadrilatère circonscrit, la droite qui joint les milieux des diagonales passe par le centre du cercle. ”

“ Les accords d'une note sont très-peu usités dans le quatuor, si ce n'est pour commencer ou finir une phrase, sur la tonique ou la dominante ; puis dans le cas où toutes les parties chantent à l'unisson, comme le montre la mesure huitième du quatuor de MOZART.
Les accords de deux notes sont plus usités que les premiers, mais moins que ceux de trois ou de quatre notes; on les rencontre surtout lorsque les parties extrêmes font tierce ou octave. Quand l'harmonie à quatre parties emploie des accords de deux notes différentes, La tierce et la sixte sont très-usitées, ainsi que l'octave ”

“ Problèmes de Géométrie.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈ I. Étant donnés, dans un quadrilatère complet, le triangle formé par deux côtés et la diagonale qui joint leurs extrémités, et connaissant, en outre, la position, par rapport à ce triangle, du point de concours des deux autres diagonales ; construire le quadrilatère, en n’employant que la règle seulement ?
II. À un même triangle donné quelconque, on peut inscrire une infinité de systèmes de trois cercles égaux, tels que chacun de ces cercles touche les deux autres et un côté du triangle. ”

“ Si nous prolongeons quelque temps l'expérience sans donner à notre attention une direction déterminée, le quadrillage apparaît par moments sur tout le champ et recouvre toute la croix ou au moins quelques-unes de ses parties. ”

“ Diviser le quadrilatère ABCD en quatre parties équivalentes par des lignes parallèles à l'un des entés adjacents à la base d'opération. (Fig. 30.) Soit S la surface du quadrilatère, calculée à l'aide des perpendiculaires BE, CL et des segments de base AE, EL, LD, et soit CD le côté qui doit être parallèle aux divisoircs FG, IH, KJ, que nous supposerons tracées pour simplifier nos raisonnements. ”

“ La définition analogue des droites focales F d'une quadrique est : droite à laquelle on peut associer deux plans Δ1, A2 tels que la quadrique soit le lieu des points vérifiant la relation (3') (M, F) 2 = k ( M. Δ1) . (M, Δ2) .
•3k
(1) Reye appelle ces droites axes focaux; les deux propriétés de ces axes qui vont êlre indiquées sont étudiées par lui dans la Géométrie de position, vol. I, p. 162, et vol. II, p. 202, dans la traduction Chemin,
Toute quadrique peut être caractérisée de cette façon d'une triple infinité de manières ”

“ THÉORÈME. Soit un quadrilatère complet quelconque, dont les côtés soient indéfiniment prolongés ; que ses trois diagonales soient aussi indéfiniment prolongées ; elles se couperont, deux à deux, en trois points. Par chacun de ces points soient menées des droites aux deux extrémités de la diagonale sur laquelle il ne se trouve pas, on aura ainsi six droites dont chacune déterminera deux points sur deux côtés du quadrilatère ; en sorte qu’on aura en tout douze de ces points, distribués, trois par trois, sur les quatre côtés de ce quadrilatère. ”

“ Qest dans le quatuor surtout que l'on emploie les accords des familles de tonique, de dominante et de sous-dominante. Généralement il faut lier les accords dans le quatuor. Une note de liaison suffit le plus ordinairement; souvent cependant on en trouve deux, rarement trois. On est souvent contraint, par le chant particulier de chaque mélodie, de donner ainsi deux ou trois liaisons à deux accords consécutifs. Des liaisons trop nombreuses rendent ces mélodies pauvres et souvent plates ; des liaisons trop rares rendent souvent l'harmonie dure et fatigante. ”

“ Le second, moins fort et moins rapide, a une robe sombre, dont un seul côté s’illumine aux rayons du soleil ; le troisième marche plus lentement encore, et le quatrième pivote sur lui-même en rongeant son frein d’acier, tandis que ses compagnons se meuvent autour de lui comme autour d’une borne. Le quadrige tourne longtemps sans encombre, accomplissant sa course perpétuelle ”

“ Dans les quadrupèdes dont le tronc est fort prolongé , comme sont les chats , les belettes, et autres ; la longueur du col, et celle de la queue sont utiles pour résister à ce que les extrémités ne soient entraînées les unes vers les autres , en étant déprimées par le tronc qu'elles supportent. ”

“ Ainsi, toutes nos règles se trouvent parfaitement observées dans ce fragment de quatuor, et notre théorie se trouve en parfaite harmonie avec la pratique de MOZART, du moins dans cet exemple. Que l'on répète cette analyse sévère et complète sur d'autres quatuors pris dans les bons auteurs, et l'on se convaincra de plus en plus que le petit nombre de règles que nous avons si longuement déduites de la théorie des accords sont toujours parfaitement justifiées par la pratique des grands maîtres. C'est tout ce que peut ambitionner la théorie la plus exigeante ”

“ Établir, à côté d'un ordre des bimanes, un ordre des quadrumanes, cela revient à dire que l'on possède un moyen sûr de distinguer en toute précision une main d'avec un pied, de manière à décider, sans incertitude, que tel animal (oublions qu'il s'agit de l'homme) ayant deux mains et deux pieds, tel autre a quatre mains. ”

“ Ce produit porte le nom de quarré, parce que, comme on le verra bientôt, il représente dans la comparaison des superficies, celle du carré qui aurait pour côté une droite contenant autant de mesures qu'il y a d'unités dans le nombre qu'on multiplie par lui-même. Mais, pour qu'il n'y ait jamais équivoque entre le quarré numérique et le carré quadrilatère, nous écrirons le premier par qu et le second par c.
Ceux qui possèdent bien le livret ou la table de multiplication, savent par cœur les carrés des 12 premiers nombres. ”