Ration

“ La fonction qui, dans le cas des équations solubles par radicaux, doit avoir une valeur rationnelle, dépendra, en général, d’une équation de degré , à laquelle il faudra, par conséquent, appliquer la méthode des racines rationnelles. ”

“ Mais comme deux quantités rationnelles peuvent différer entr'elles aussi peu qu'on voudra, il est évident que la formule a lieu pour une valeur quelconque de a, rationnelle ou irrationnelle, mais plus petite que l'unité. ”

“ D'un autre côté, on sait, par la théorie des équations, que tout radical a autant de valeurs différentes, ni plus ni moins, qu'il y a d'unités dans son exposant, et que toute fonction irrationnelle a par conséquent autant de valeurs différentes qu'on peut faire de combinaisons des différentes valeurs des radicaux qu'elle renferme. ”

“ Néanmoins, afin de mieux signaler le véritable esprit de la chimie, il importe, sans doute, de considérer directement la définition la plus rationnelle, et, pour ainsi dire, la plus mathématique, dont une telle science soit susceptible, quoique, dans son état présent, elle ne puisse correspondre que très incomplétement à une semblable position générale de la question. ”

“ Par exemple, si est une équation, est une fonction des racines qui ne varie par aucune permutation. Quand nous disons qu’une fonction est rationnellement connue, nous voulons dire que sa valeur numérique est exprimable en fonction rationnelle des coefficients de l’équation et des quantités adjointes. ”

“ On trouvera ici une condition générale à laquelle satisfait toute équation soluble par radicaux, et qui réciproquement assure leur résolubilité. On en fait l’application seulement aux équations dont le degré est un nombre premier. Voici le théorème donné par notre analyse :
Pour qu’une équation de degré premier, qui n’a pas de diviseurs commensurables, soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que toutes les racines soient des fonctions rationnelles de deux quelconques d’entre elles. ”

“ Théorème XLIII. — Désignons par une fonction entière rationnelle de dont les coefficients sont des nombres rationnels et qui ne prend jamais des valeurs négatives quand on donne à des valeurs réelles quelconques. Cela posé, est toujours représentable comme quotient de deux sommes de carrés dont toutes les bases sont des fonctions entières rationnelles de à coefficients rationnels.
Démonstration. — Désignons par le degré de la fonction assignée ; ce degré doit être évidemment toujours pair. ”

“ Nous avons vu qu’en donnant aux constantes d’intégration certaines valeurs particulières, les séries (7) représentent une solution périodique de ces équations. Pour achever de déterminer cette solution, nous donnerons également aux constantes d’intégration certaines valeurs particulières. ”

“ Ce qu’on entend par l’ensemble des permutations d’une équation.
Du cas où cet ensemble constitue un groupe.
Il n’y a qu’une circonstance où nous ayons reconnu que cela doit nécessairement avoir lieu. C’est celui où toutes les racines sont des fonctions rationnelles d’une quelconque d’entre elles. Démonstration.
C’est improprement, etc. Du reste, tout ce que nous avons dit est applicable à ce changement près. 1o. théorème. Si une équation jouit de la propriété énoncée, toute fonction des racines invariable par les substitutions conjuguées sera connue, et réciproquement. ”

“ Cette remarque donnant aux fractions continues de cette forme un nouveau degré d’intérêt, on peut se proposer de les combiner avec des quantités rationnelles de toutes les manières qui naissent de la diversité des opérations du calcul, et d’obtenir le résultat en fraction continue de même forme qu’elles ; et tel est le sujet qui va nous occuper,
Soit
une fraction continue donnée, équivalente conséquemment à une des racines de l’équation
et soit un nombre rationnel donné. ”

“ Au contraire, pour des valeurs impaires du nombre n, ces équations irrationnelles appartiennent respectivement à la portion de ligne pleine MN, aux portions de lignes ponctuées Mμ', Nv"', à l'exclusion des autres lignes pleines ou ponctuées de la figure, et elles conduisent à la même équation rationnelle. ”

“ La Mécanique Rationnelle présuppose, tout en étant sous leur dépendance, les lois du nombre et de l'étendue, et, avec elles, un autre groupe de lois, celles de l'Équilibre et du Mouvement. Les vérités de l'Algèbre et de la Géométrie ne dépendent nullement de ces dernières, et eussent été vraies, fût-il arrivé à celles-ci d'être le contraire de ce que nous les trouvons; mais on ne saurait comprendre ni exposer.les phénomènes de l'équilibre et du mouvement sans supposer les lois du nombre et de l'étendue telles qu'elles
existent dans la réalité. ”

“ I. En posant dans la seconde opération donnée dans cet article, on trouve
La première équation ou la seconde peut être commodément appliquée à la confirmation du calcul, si l’on emploie la méthode I ou la méthode II de l’art. 62. ”

“ Équation de l’évection. 191.Appliquons les considérations qui précèdent à l’intégration par approximations successives de l’équation
est un coefficient très petit, est une fonction connue de et de dont les termes sont tous de la forme
est un entier, et sont des constantes quelconques. ”

“ Au bas du rational, de chaque côté, est une petite chaîne d'or qui vient se joindre par derrière au bord des deux épomides, de sorte que le rational est attaché par devant et par derrière aux épomides. ”

“ Recherches sur les suites récurrentes dont les termes varient de plusieurs manières différentes, ou sur l’Intégration des équations linéaires aux différences finies et partielles ; et sur l’usage de ces équations dans la théorie des hasards.
XXVI.
Sur l’altération des moyens mouvements des planètes. ”

“ Cette raison s’appelle pour l’ordinaire raison géométrique, ou simplement raison.
Wolf distingue la raison, eu égard à la quantité en général, en rationnelle & irrationnelle.
Raison rationnelle est celle de nombre à nombre, par exemple, comme 3 à 4. Voyez Nombre
Raison irrationnelle est celle qu’on ne peut exprimer par aucun nombre rationnel.
Supposons, pour éclaircir la chose par un exemple, deux quantités A & B, dont A soit la plus petite ; si l’on retranche A de B autant de fois qu’elle le peut être, par exemple, cinq fois, il ne restera rien, ou bien il restera quelque chose. ”

“ Je fus forcé de me rejeter dans cette conclusion peu satisfaisante, qu’il existe des combinaisons d’objets naturels très simples qui ont la puissance de nous affecter de cette sorte, et que l’analyse de cette puissance gît dans des considérations où nous perdrions pied. ”

“ Toute fonction rationnelle de telle que ou , prend la forme si l’on élimine les puissances de supérieures à la première au moyen de l’équation , en désignant par , , , des fonctions rationnelles de , ... ”

“ Il est des gens qui affirment que, dans l’économie du corps, la rate, qui fait cependant défaut, est nécessaire à la séparation du fiel ; mais les meilleurs anatomistes ont reconnu, jusqu’à présent, que la rate n’avait d’autre mission que d’engendrer le spleen, et la regardant purement et simplement comme un ornement placé là pour la symétrie par la main du Créateur. ”

“ J’admets qu’on puisse mesurer l’accélération, parce que je passe sur la difficulté provenant de la mesure du temps. Mais comment mesurer la force, ou la masse ? Nous ne savons même pas ce que c’est. ”

“ Pour abréger, nous représenterons respectivement les valeurs des périodes
jusqu’à celles qui composent la période .
1o. Soit une racine indéfinie de l’équation , et supposons que le développement de la puissance de la fonction
soit, par ce qui a été dit (no 345) ,
où les coefficiens , , , , etc. seront des fonctions rationnelles entières de . Supposons aussi que la puissance des deux autres fonctions
se développe en et , on verra facilement (no 350) que se tirant de en changeant , , ... en , , ... respectivement, on aura
d’ailleurs , ainsi ”

“ Comprendre la démonstration d'un théorème, est-ce examiner successivement chacun des syllogismes dont elle se compose et constater qu'il est correct, conforme aux règles du jeu? De même comprendre une définition, est-ce seulement reconnaître qu'on sait déjà le sens de tous les termes employés et constater qu'elle n'implique aucune contradiction?
Oui, pour quelques-uns; quand ils auront fait cette constatation, ils diront: j'ai compris. Non, pour le plus grand nombre. ”

“ Il semble absurde au possible, je le reconnais, de supposer que la sélection naturelle ait pu former l’œil avec toutes les inimitables dispositions qui permettent d’ajuster le foyer à diverses distances, d’admettre une quantité variable de lumière et de corriger les aberrations sphériques et chromatiques. ”

“ On peut s'étonner de voir invoquer la sensibilité à propos de démonstrations mathématiques qui, semble-t-il, ne peuvent intéresser que l'intelligence. Ce serait oublier le sentiment de la beauté mathématique, de l'harmonie des nombres et des formes, de l'élégance géométrique. C'est un vrai sentiment esthétique que tous les vrais mathématiciens connaissent. Et c'est bien là de la sensibilité. ”

“ Dans l’espace d’une seconde, la lumière rouge, — celle qui a la plus grande longueur d’onde et dont les vibrations sont par conséquent les moins fréquentes, — accomplit 400 trillions de vibrations successives. Veut-on se faire une idée de ce nombre ? On devra écarter les vibrations les unes des autres assez pour que notre conscience puisse les compter ou tout au moins en enregistrer explicitement la succession, et l’on cherchera combien cette succession occuperait de jours, de mois, ou d’années. ”

“ Mais on a sous forme rationnelle ?2 (a7?r) (i — y*) ^— l2'y2) — ty* ï —a?2) (i —/c2#2) = o, -.
qui ne contient que des puissances paires de x, [dont le premier
membre] admettra pour diviseur U2 - V2y2; cette équation du degré 2n + 2 aura en outre une solution κ2=λ2 (y) , où vous verrez facilement que λ (y) est rationnelle en y. Cette fonction rationnelle donne la substitution complémentaire de y = de sorte qu'en écrivant y = e (x) , l'expression θ [λ (κ) ] est la formule pour la multiplication de l'argument elliptique par 11.
Croyez-moi toujours votre bien sincèrement dévoué. ”

“ Enfantin prend pour exemple la balance. Il dit par la bouche de son interprète, Mme J*** L***, p. 153 :
« Dans le fait de comparer deux corps pesants dans leurs rapports de poids, il y a bien les deux plateaux de la balance qui donnent le plus ou le moins ; mais, pour déterminer la différence, pour l’exprimer et la convertir en fait, il faut un critérium de pesanteur qui fait partie de la balance ou que vous y annexez au moment de l’opération (comme les poids) , mais qui, dans sa norme unitaire, est antérieur et supérieur au fait de pesage et se rattache à la loi générale de pesanteur. ”

“ —L'éther, mon ami, c'est une agglomération d'atomes impondérables, qui, relativement à leurs dimensions, disent les ouvrages de physique moléculaire, sont aussi éloignés les uns des autres que les corps célestes le sont dans l'espace. Leur distance, cependant, est inférieure à un trois-millionièmes de millimètre. Ce sont ces atomes qui, par leur mouvement vibratoire, produisent la lumière et la chaleur, en faisant par seconde quatre cent trente trillions d'ondulations, n'ayant que quatre à six dix-millièmes de millimètre d'amplitude. ”

“ Après douze générations, la proportion du sang, pour employer une expression vulgaire, de l’un des ancêtres n’est que de 1 sur 2048 ; et pourtant, comme nous le voyons, on croit généralement que cette proportion infiniment petite de sang étranger suffit à déterminer une tendance au retour. ”

“ C'est à la faveur des ombres de la nuit que la jeune mère, penchée sur un berceau, sent le cœur de son enfant se révéler à elle dans le souffle égal et doux de sa respiration. C'est à la faveur de ces ombres propices que l'âme pieuse entend la voix de son ange gardien qui lui apporte des cieux consolation, espoir et force. ”

“ Le mont Rawlinson dressait ses pics blancs vers le ciel; la neige et la brume le faisaient paraître colossal en exagérant sa distance; la température se maintenait à quelques degrés au-dessus de glace; des cascades et des cataractes improvisées se développaient sur les flancs de la montagne; les avalanches se précipitaient avec une détonation semblable aux décharges continues de la grosse artillerie. Les glaciers, étalés en longues nappes blanches, projetaient une immense réverbération dans l'espace. La nature boréale aux prises avec le dégel offrait aux yeux un splendide spectacle. ”

“ La vie quotidienne, pour qui eut la sottise ou l’imprudence de la rêver exceptionnelle, on dirait qu’elle sécrète un poison sournois qui la ronge sans qu’on s’en doute. Il serait vain de se retrancher derrière la fatalité, ou de s’égarer dans des considérations pessimistes. ”

“ Pendant plusieurs heures, le Nautilus flotta dans ces ondes brillantes, et notre admiration s’accrut à voir les gros animaux marins s’y jouer comme des salamandres. Je vis là, au milieu de ce feu qui ne brûle pas, des marsouins élégants et rapides, infatigables clowns des mers, et des istiophores longs de trois mètres, intelligents précurseurs des ouragans, dont le formidable glaive heurtait parfois la vitre du salon. Puis apparurent des poissons plus petits, des balistes variés, des scomberoïdes-sauteurs, des nasons-loups, et cent autres qui zébraient dans leur course la lumineuse atmosphère. ”

“ Au cri de la vigie, les hommes de quart s’étaient élancés sur les bastingages, et regardaient vers l’ouest. Le capitaine, sa lunette en bandoulière, saisit les haubans du grand mât, gravit lestement les enfléchures, se mit à cheval sur les barres au point d’amure de la voile de flèche, et, l’oculaire à l’œil, fouilla l’horizon à l’endroit indiqué.
La vigie n’avait point fait erreur. À une distance de six à sept milles, émergeait une sorte d’îlot, dont les linéaments se profilaient en noir sur les extrêmes colorations du ciel. ”