Calculatrice

“ Un nombre concret est celui qu'on énonce en désignant l'espèce d'unité. Exemple : 8 maisons, 54 arbres, 25 francs, etc.
12. On appelle calcul les procédés employés pour augmenter, diminuer, combiner les nombres les uns avec les autres.
13 On appelle opérations arithmétiques les divers changements que l'on fait subir aux nombres pour les composer ou les décomposer.
14. Les opérations fondamentales sont au nombre de quatre : l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Deux de ces opérations servent, à augmenter les nombres, l'addition et la
multiplication ”

“ Quoique la manière d'écrire et d'énoncer les nombres entiers soit nécessairement familière à ceux qui abordent l'étude théorique de l'arithmétique, ce système de numération a une telle importance dans l'art de faire les calculs, qu'il est essentiel d'en indiquer avec soin les principes. ”

“ Parmi ceux qui cultivent les sciences mathématiques, personne n’a la prétention de comprendre le calcul différentiel ou la mécanique rationnelle avant de connaître les méthodes les plus simples du calcul. ”

“ A moins de dérouler devant toi, ma chère Élisa, l'immense tableau de ce qui, dans l'univers connu, a reçu le nom d'unité, on ne saurait effleurer que d'une manière imparfaite la théorie des fractions: il faut, en ceci, se contenter du principe. Fort heureusement, le calcul décimal nous offre une compensation, un terme moyen fort agréable ; toute fraction possible peut se réduire en décimales ; et j'ai l'avantage de t'annoncer, pour la première fois, que les fractions anciennes n'existent plus que pour ceux qui persistent à s'en servir. ”

“ Des équations dans lesquelles se trouvent la troisième, la quatrième puissance d’une quantité x, etc., peuvent être respectivement satisfaites par trois ou par quatre nombres, etc.... jamais davantage. Quelquefois, aucun nombre ne satisfait aux conditions posées par l’équation ; le calcul, convenablement exécuté, ne tarde pas à l’indiquer ; il donne ce qu’on appelle des solutions, autrement dit des racines imaginaires. ”

“ MÉTHODE. Pour multiplier l'un par l'autre deux nombres composés, il faut écrire le multiplicateur sous le multiplicande, de manière que les unités du même ordre soient dans une même colonne; souligner le multiplicateur ; puis, à partir de la droite, multiplier tout le multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur ; écrire le premier chiffre à droite de chaque produit partiel dans le rang du chiffre par lequel on multiplie, et les autres chiffres successivement dans les rangs suivans ,• enfin, faire la somme de tous les produits partiels. ”

“ On met à l’ordinaire chaque problème en équation, en regardant toutes les quantités sur lesquelles on établit le raisonnement, comme des quantités absolues. Ces équations primitives formées, on les regarde comme immédiatement applicables à tous les états dans lesquels le système peut se trouver successivement, en se réservant de faire dans le résultat même du calcul les modifications nécessaires pour chaque cas particulier. ”

“ A l’École normale supérieure, au contraire, ou dans les Facultés, on dira : une fraction, c’est l’ensemble de deux nombres entiers séparés par un trait horizontal ; on définira par des conventions les opérations que peuvent subir ces symboles ; on démontrera que les règles de ces opérations sont les mêmes que dans le calcul des nombres entiers, et on constatera enfin qu’en faisant, d’après ces règles, la multiplication de la fraction par le dénominateur, on retrouve le numérateur. ”

“ L’arithmétique est éminemment pratique ; la théorie des nombres elle-même retrouve ses plus beaux théorèmes dans l’étude des vibrations. La Géométrie et la Mécanique sont deux branches de la Physique mathématique qui étudient deux propriétés distinctes de la matière, l’étendue et le mouvement. L’Algèbre, le Calcul différentiel, ne sont que les instruments analytiques, indispensables, inséparables, de toutes les théories physiques, ceux qui conduisent aux lois les plus générales des phénomènes qu’on étudie. ”

“ Le calcul des valeurs, ou l'arithmétique, paraît, au premier abord, devoir présenter un champ aussi vaste que celui de l'algèbre, puisqu'il semble devoir donner lieu à autant de questions distinctes qu'on peut concevoir de formules algébriques différentes à évaluer. Mais une réflexion fort simple suffit pour montrer que le domaine du calcul des valeurs est, par sa nature, infiniment moins étendu que celui du calcul des fonctions. ”

“ Pense-t-on, par exemple, que celui qui étudie l’arithmétique aura une idée beaucoup plus exacte de la science du calcul, lorsqu’on lui aura révélé que le nom de cette science vient du mot latin Calculus ? ”

“ Pour faire la preuve de l'addition, il suffit de recommencer l'opération dans un ordre différent de celui qu'on a suivi d'abord ; si le résultat est le même, il est probable que l'opération a été bien faite.
139. Un problème de calcul est l'énoncé d'une question dans laquelle il s'agit de trouver un ou plusieurs nombres inconnus en opérant sur des nombres donnés.
140. Résoudre un problème, c'est déterminer le
nombre ou les nombres inconnus au moyen des nombres connus. ”

“ Le but définitif de nos recherches dans la mathématique concrète étant la découverte des équations, qui expriment les lois mathématiques des phénomènes considérés, et ces équations constituant le véritable point de départ du calcul, dont l'objet est d'en déduire la détermination des quantités les unes par les autres, je crois indispensable, avant d'aller plus loin, d'approfondir, plus qu'on n'a coutume de le faire, cette idée fondamentale d'équation, sujet continuel, soit comme terme, soit comme origine, de tous les travaux mathématiques. ”

“ Ainsi il découvrira le pourquoi du calcul écrit, mais en le vérifiant par le calcul d'objets ou en le préparant toujours par le calcul mental, — calculs qui doivent être les premiers en date, comme ils sont les plus importants dans la vie ordinaire.
A la fin du livre, l'habitude sera prise : l'enfant considérera les chiffres comme la figure connue de choses réelles qui l'ont intéressé, et il pourra imaginer et compter des quantités de plus en plus grandes, sur lesquelles il opérera d'après les règles qui lui sont familières pour les petits nombres. ”

“ Mettez les plus hautes unités de l'un des facteurs en ligne verticale avec celui des chiffres de l'autre facteur qui, multiplié par ces unités, donne le chiffre de l'ordre qu'on veut calculer, puis renversez les chiffres du multiplicateur à droite et à gauche. ”

“ Le calcul mathématique leur sert à interpréter les données de l’expérience, et au besoin à les compléter : mais ils ne se demandent pas quelle est la nature, quels sont les titres de cette interprétation. ”

“ En généralisant ce qui précède, on en déduira le procédé suivant : Pour extraire la racine carrée d'un nombre entier, à moins d'une partie déterminée de l'unité, multipliez ce nombre par le carré du dénominateur de la fraction qui exprime l'approximation que vous voulez avoir; ainsi, par exemple, par 36, si vous voulez avoir la racine à moins de — ; par 81, si vous voulez l'avoir à moins 6 de —, etc.; puis extrayez la racine carrée du produit à moins d'une unité, et donnez à cette racine le dénominateur de la fraction qui détermine le degré d'approximation demandé. ”

“ I. Quand on multiplie deux nombres décimaux par la méthode ordinaire, les dernières décimales, celles qui ne doivent pas être conservées dans les calculs d'approximation, parce qu'elles sont inutiles ou inexactes, sont celles qu'on obtient les premières ; on est donc forcé ainsi d'écrire plusieurs, chiffres qui ne servent à rien. Voici la règle due à Oughtred pour faire la
multiplication sans écrire au produit plus de chiffres qu'on n'en veut calculer. ”

“ Le calcul numérique est le calcul naturel des chiffres qui expriment séparément une valeur. Il est une lumière directe qui, en éclairant notre esprit et notre entendement, nous fait découvrir des méthodes simples, lumineuses et utiles dans les sciences mathématiques. C'est en décomposant, par la soustraction, les deuxième, troisième, quatrième, cinquième, sixième, septième, huitième, neuvième puissances que nous sommes parvenu à connaître les progressions arithmétiques de chacune d'elles. ”

“ As-tu aussi observé que ceux qui sont nés calculateurs, ayant l’esprit de combinaison, ont beaucoup de facilité pour presque toutes les autres sciences et que même les esprits pesants, lorsqu’ils se sont exercés et rompus au calcul, en retirent du moins cet avantage d’acquérir plus de facilité et de pénétration ? ”

“ Eh bien ! dès qu'il fut posé, la solution fut donnée. L'interrogateur était M. Courtial, examinateur des écoles spéciales et professeur de mathématiques à l'école industrielle de la rue de Charonne.
Or voici toute son opération;—les mathématiciens pourront en chercher les causes ; ce n'est pas dans une biographie que j'en puis faire la démonstration. —Prenez le dénominateur de la fraction, retranchez-en un : vous avez le nombre de personnes. Multipliez ce nombre par le nombre de litres pris par le premier, c'est-à-dire par 100, et vous aurez vos quantités égales prises par chacun. ”

“ Ils travailleront désormais pour les facultés, pour les colléges, pour les séminaires, pour les écoles, pour les commerçants, pour les industriels, pour les ingénieurs de tous les ordres, pour quiconque, en un mot, veut enseigner la science des nombres sans fatigue, ou faire pour ses propres besoins, et pour ainsi dire en s'amusant, tous les calculs qui se font avec tension d'esprit et perte énorme de temps. ”

“ Dans la dernière moitié de ce siècle, les efforts se dirigent vers la physique mathématique qui se constitue peu à peu. En analyse pure, la recherche se particularise et s’aiguise de plus en plus, on creuse les propriétés des fonctions et des équations différentielles, le calcul infinitésimal porte tous ses fruits. ”

“ Il ne faut pas confondre l'arithmétique avec le calcul. Le calcul est à proprement parler l'art ou l'habileté dans la combinaison des chiffres. L'arithmétique est la combinaison des nombres. On peut être très-bon calculateur, et fort mauvais arithmé- ticien. — Le calculateur n'a besoin que d'habitude ou de routine ; à l'arithméticicn il faut la science et le raisonnement.
9. Toutes les propositions que l'on peut faire sur les nombres se réduisent à deux : le théorème, et le problême. L'un, particulier à l'arithmétique-théorique , l'autre, à l'arithmétique-pratique ”

“ Celui qui comprendra bien ce calcul, comprendra facilement toute l’arithmétique ; c’est pourquoi il faut enseigner le calcul prudemment, sans se hâter, sans permettre à l’élève d’apprendre rien par cœur, mais en expliquant chaque opération. ”

“ Qui peut plus peut moins; si l'arithmomètre exécute avec une infaillibilité absolue les calculs les plus compliqués de la science, à plus forte raison exécute-t-il toutes les opérations arithmétiques usitées dans le commerce, la banque, etc. ”

“ Plusieurs des théorèmes que l’on a coutume d’exposer dans les traités d’arithmétique, s’appuient sur ceux que nous avons présentés ; par exemple, la règle pour reconnaître si un nombre est divisible par ou tout autre nombre. ”

“ Prouvez l'indépendance des produits partiels quand la multiplication est formée de plusieurs chiffres 57.
La présence d'un ou de plusieurs zéros au multiplicande ou au multiplicateur , change-t-elle quelque chose à l'opération 59.
Comment multipliez-vous un nombre entier par l'unité, ou par quelqu'autre chiffre suivi de zéro.. 60.
Démontrez qu'un produit ne change pas quel que soit l'ordre dans lequel on multiplie ses deux facteurs. 61, En est-il de même d'un produit de plusieurs facteurs. 61.
Démontrez qu'un produit augmente quand on ajoute à l'un des facteurs, et de combien il augmente.. ”

“ Le calcul est, avons-nous déjà dit, une très bonne chose, un outil de première utilité en matière de construction mécanique, mais il ne faut pas, répéterons-nous, s'exagérer sa valeur lorsqu'on veut l'appliquer à la détermination de coefficients particuliers, souvent variables. ”

“ Le calcul s’apprend d’une façon concrète. Chaque école a une boutique où les enfants qui ont déjà quelques notions du nombre apprennent à résoudre des problèmes. En pesant avec trois sortes de poids, grammes, livres et kilogrammes, ils apprennent les quatre opérations arithmétiques. ”

“ La mécanique des machines usuelles, la physique et ses nombreuses branches, la chimie théorique et pratique, l'astronomie et ses mille applications, la géodésie, la trigonométrie, la statistique, l'économie politique, enfin les calculs de tête, où souvent un résultat obtenu au vingtième ou même au dixième est suffisant, toutes les sciences de faits et d'observation trouvent d'utiles et indispensables auxiliaires dans les calculs pratiques. ”

“ Définition. — On appelle numération la partie de l'arithmétique qui apprend : 1° à former les nombres, 20 à les nommer, 3° à les écrire. Nous allons nous occuper successivement des trois parties dont se compose la numération.
12. Formation des nombres. — L'unité est un nombre (7) .
Si l'on ajoute l'unité à elle-même, on a un nouveau nombre; si à celui-ci on ajoute l'unité, on a le suivant, et ainsi de suite. Donc pour
avoir un nouveau nombre, il suffit d'ajouter l'unité à un nombre déjà obtenu. ”

“ Pour y parvenir, proposons-nous divers cas de multiplication , en commençant par les plus simples.
28. PREMIER CAS. Supposons donc, premièrement, que nous ayons un nombre d'un chiffre à multiplier par un nombre d'un chiffre : 6, par exemple, à multiplier par 5.
Nous pouvons encore ici, pour avoir le produit, écrire 6 cinq fois dans une colonne verticale et faire l'addition; c'est même le seul moyen qui se présente et que nous puissions employer d'abord ; il ne peut, du reste, donner lieu à des longueurs considérables. ”