Planimétrie

“ La Planimétrie, ou l’art de mesurer les surfaces planes, s’exécute par le moyen de quarrés plus ou moins grands, comme piés quarrés, pouces quarrés, toises quarrées, perches quarrées, &c. c’est-à-dire, par des quarrés dont les côtés sont un pié, un pouce, une toise, une perche, &c. Ainsi on connoît la valeur d’une surface proposée, quand on sait combien elle contient de piés quarrés, ou de pouces quarrés, ou de toises quarrées, ou de perches quarrées, &c. ”

“ Les écoles des villes devraient posséder un relief de ce genre. Le maître y montrerait les principaux accidents ; puis, sur la carte qui l'accompagne, il montrerait la représentation de ces mêmes accidents.
Le maître expliquera que la planimétrie est le dessin de tout ce qui est à peu près en plan sur le sol même, côtes, cours d'eau, constructions, etc. ; que le figure du terrain est le dessin des pentes ; qu'on fait ce dessin à l'aide de hachures, de courbes ou de teintes.
Dans un village, au contraire, le maître fera bien de parler de la campagne environnante que ses élèves connaissent. ”

“ La planimétrie est obtenue par la réduction des plans parcellaires du cadastre, qui sont encastrés dans des polygones levés à la boussole par les adjoints du génie de la section, de sorte qu'il ne reste plus au topographe qu'à compléter la planimétrie par une revision faite sur le terrain et à définir le relief du sol à l'aide de courbes de niveau équidistantes de 5 mètres et filées partiellement. ”

“ Etude du terrain sur la carte ; curvimètre ; profils naturels, surhaussés, surbaissés. Emploi de la carte sur le terrain, s'orienter. Copie des cartes; procédé du quadrillage.
Lever de planimétrie, cheminement, intersection, recoupement. Mesures de longueur, pas étalonné, stadia. Mesures des angles, planchettes, alidade, usage de la planchette. Déclinatoire, boussole, rapporteur.
Canevas de planimétrie : méthode des polygones, traverses, erreur de fermeture. Détails de la planimétrie, abscisses et ordonnées, rayonnements, alignements, cahier de croquis. ”

“ Ainsi, dans la carte de l'état-major, qui est à 4o ooo> une route de 10 mètres de largeur ne devrait avoir que k de millimètre, et on la représente par deux traits qui sont espacés de 0m00075, ce qui fait une différence sensible. La facilité de lecture de la carte exige de semblables écarts, qui n'ont, d'ailleurs, aucun inconvénient.
EXPOSÉ SOMMAIRE DE LA PLANIMÉTRIE ET DU NIVELLEMENT.
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La planimétrie est la base d'un levé quelconque. ”

“ Nous indiquons dans les notions préliminaires, orientation (Livre de l'élève, et Livre du maître, pages 2) , la manière de procéder à cet égard.
III. On entend par planimétrie la partie du dessin d'une carte qui donne les détails du terrain à l'exception des pentes, c'est-à-dire des mouvements de ce terrain. Le tableau des signes de la carte d étatmajor au 80 oooe, placé à l'intérieur de la couverture, contient les principales indications relatives à la planimétrie : 1° les cours Il' eau et canaux avec route tranversale, pont, bac, embranchement, écluse; 2° la nature des cultures ”

“ Quelqu'informe qu'ait été la charpente des cabanes des premiers hommes , ils ont été dans Jet cas de mesurer des longueurs : d'où la longimétrie : dès que l'agriculture fut découverte,on mesura des champs, ou des surfaces ; de-là la planimétrie: l'art de mesurer les solides, ou la stéaréométrie, est vraisemblablement di au premier usage que. les hommes firent des balances..
éefi parce que la longimétrie an d'abord eu pour objet les premiers besoins du corps humain , que le pou ce , le pied , la coudée & la toise sont les plus anciennes & les plus univer- selles mesures connues. ”

“ Un plan est la représentation graphique, établie avec la plus grande précision , de la situation et de la configuration d'un territoire donné, dont la superficie est toujours ramenée à une surface plane horizontale , et dont chacune des lignes, qui correspondent aux lignes imaginaires qui relient les points du territoire, sont proportionnelles à ces dernières; c'est-à-dire que chacune d'elles contient autant de parties, dans un rapport donné avec le mètre pris pour unité de mesure, que les dernières contiennent elles-mêmes de mètres. ”

“ Cherchons maintenant une formule pour exprimer la mesure de la courbure pour un point quelconque de la surface courbe. En dénotant par l’aire d’un élément de cette surface, sera l’aire de la projection de cet élément sur le plan des coordonnées et, par suite, si est l’aire de l’élément correspondant sur la surface sphérique, sera l’aire de la projection sur le même plan : le signe positif ou négatif de indiquera que la situation de la projection est semblable ou opposée à la situation de l’élément projeté. ”

“ On se donne sur cette feuille la projection de la première station, de manière à y faire tenir le plan de tout le terrain que l'on. veut représenter et. en partant de ce point, il devient ensuite facile de transcrire géométriquement les mesures d'angles et de distances, dans l'ordre où elles ont été effectuées.
Les longueurs qui représentent les distances s'évaluent à l'aide d'une échelle ou simplement à l'aide des divisions d'un double décimètre, et, pour construire les angles, on se sert de l'instrument connu sous le nom de rapporteur. ”

“ La projection d’une force sur un plan mené par un point fixe, multipliée par la distance de cette projection à ce point, est ce que l’on nomme moment de la force, pour faire tourner le système autour de l’axe qui passant par le point fixe, est perpendiculaire au plan. ”

“ On nomme plan une surface ABCD, fig. 1, considérée sans épaisseur, sur laquelle on pourrait appliquer dans tous les sens une règle droite.
On nomme projection d'un point sur un plan, le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan, le point G est la projection du point E sur le plan ABCD.
La projection d'une ligne sur un plan, est le lieu géométrique des pieds des perpendiculaires abaissées de tous les points de cette ligne sur le plan ; ainsi la ligne GH est la projection de la ligne EF sur le plan ABCD. La projection d'une ligne droite est une ligne droite. ”

“ Le planisphère, ou mappemonde de Mercator, développe la surface terrestre sous forme d'un rectangle, les cercles étant remplacés par des lignes droites.
Hémisphère oriental.
Projections. La surface d'une sphère, n'étant pas développable, ne peut se projeter ou se représenter exactement sur une carte dont la surface est plane: toutes les projections ont donc leurs défauts comme leurs avantages.
— 1° La projection droite, orthographique ou sphéroïdale, rend sensible la rondeur de la terre, mais rapetisse trop les parties fuyantes des bords. ”

“ Usage de la planchette pour lever le plan d’un champ par une seule station, d’où l’on puisse voir tous les angles. En plaçant l’instrument au lieu de station, prenez un point dans le papier, pour représenter le point O, par exemple (fig. 21.) & mettant le bord de l’index à ce point, dirigez-le aux différens angles du champ A, B, C, D, E, F, &c. & tirez le long de son bord des lignes indéfinies, dirigées à chaque angle, c’est-à-dire les lignes C a, C b, C c, &c. Mesurez la distance de chaque angle au point de station, c’est-à-dire mesurez les lignes O A, O B, O C, O D, &c. ”

“ Dans le cas linéaire, les géomètres ont supposé que le mouvement s’exécute tout entier dans une direction perpendiculaire au plan de la lame en repos : j’admis la même chose par rapport aux surfaces planes. Guidée ensuite par l’analogie seule, je crus pouvoir supposer que le mouvement des divers points d’une surface courbe s’exécute tout entier dans des directions perpendiculaires aux plans tangents à chacun des mêmes points, considérés sur la surface en repos. ”

“ On appelle plan ou surface plane, une surface telle, que si on prend deux de ses points à volonté, et qu'on les joigne par une ligne droite, cette ligne droite est comprise tout entière dans le plan.
On trace les lignes droites avec la règle et le crayon. Je ne m'arrêterai pas à décrire ce procédé si simple. Une bonne règle est un instrument délicat qui doit être confectionné avec soin, sans
quoi le crayon trace des lignes plus ou moins cour-bes au lieu de lignes droites. ”

“ On se sert de mesures quarrées pour évaluer les surfaces ou déterminer les aires des terreins, 1°. parce qu’il n’y a que des surfaces qui puissent mesurer des surfaces, 2°. parce que les mesures quarrées ont toute la simplicité dont une mesure soit susceptible, lorsqu’il s’agit de trouver l’aire d’une surface.
La mesure d’une ligne est une droite prise à volonté, & qu’on considere comme unité. Voyez Ligne.
Les Géometres modernes se servent pour cela de la toise, du pié, de la perche, &c. ”

“ Projetons maintenant les points sur un plan perpendiculaire au rayon vecteur de la Terre à sa position moyenne, et supposons que ce plan occupe, parallèlement à lui-même, trois positions, de manière à passer successivement par les points et
Soit (fig. 9) , le lieu du Soleil, les trois points de la figure (8) , leurs projections orthogonales sur le plan perpendiculaire au rayon et passant par le point de l’espace ; ce point étant à lui-même sa projection est représenté en sur la figure (9) ”

“ Et en fait de planisphères, ou d’astrolabes, le plan de projection est placé au-delà de l’objet, qui est toujours la sphère, & non pas entre l’œil & l’objet, comme le plan de la projection d’un tableau. ”

“ Dans la seconde Partie, j'ai exposé en détail les procédés graphiques de construction d'un certain nombre des projections les plus importantes que je n'avais étudiées qu'au point de vue théorique dans les Chapitres précédents. J'ai aussi donné les moyens d'évaluer les erreurs d'angles, de distances et de surfaces, de construire les angles en véritable grandeur, de mesurer les distances des divers points, etc., lorsque les constructions ou les calculs que nécessitent ces opérations peuvent s'effectuer simplement et conduisent à des résultats
importants. ”

“ A ce point de vue. l'analyse des courbes présente de grandes difficultés, mais, si l'on parvient à les résoudre, elle doit être préférée à toute autre, parce qu'elle a le double avantage de la régularité de la marche et de la généralité dans les résultats.
Les formules que l'on obtient instruisent le géomètre sur les propriétés de la courbe en elle-même et sur l'influence de la surface qui la contient, et la théorie des courbes planes n'est plus qu'un cas particulier de la théorie des courbes tracées sur une surface quelconque. ”

“ La physique, la météorologie et la mécanique se sont aussi emparées des méthodes de la géométrie descriptive, pour découvrir, par des constructions graphiques, des lois naturelles que leur complication ne permettait point de reconnaître immédiatement.
L'habitude de l'emploi de la science qui nous occupe donne une telle clarté à la conception des mouvements des corps dans l'espace, que son étude est devenue de première nécessité pour les ingénieurs, les astronomes, les navigateurs, et même pour ceux qui ont à trouver les premières approximations dans des calculs purement arithmétiques. ”

“ Les mêmes principes et les mêmes méthodes que nous avons employés pour le mesurage sur le terrain, étant applicables aux plans, avec cette
seule différence que les dimensions, au lieu d'être mesurées à la chaîne, ne peuvent, dans ce dernier cas, qu'être évaluées à l'aide du compas et de l'échelle, il est également possible d'opérer la division des figures en parties égales et même en parties inégales, ayant entr'elles un rapport donné, en suivant les mêmes procédés, auxquels nous allons ajouter quelques constructions graphiques qui ne sont spécialement applicables qu'aux plans. ”

“ Tous les problèmes de géométrie descriptive peuvent se résoudre à l'aide des changements de plans de projection et des mouvements de rotation autour d'un axe perpendiculaire à l'un des plans de projection, ce qui n'est au fond que le même principe. ”

“ La situation d’un plan quelconque peut être représentée par le grand cercle de la sphère, dont le plan lui est parallèle.
3. L’angle entre deux plans est égal à l’angle sphérique compris entre les deux grands cercles qui les représentent, et, par conséquent, a pour mesure l’arc intercepté entre les pôles de ces grands cercles. Par suite, l’inclinaison d’une droite sur un plan a pour mesure l’arc mené normalement du point qui répond à la direction de la droite, au grand cercle qui représente la situation du plan. ”

“ Une carte prend le nom de plan quand tous les objets peuvent y être figurés avec leurs dimensions exactement réduites dans la proportion de l'échelle; on emploie pour les plans l'échelle de ysstô et les échelles supérieures. ”

“ Étant donné un point fixe o dans l'espace, et un point quelconque m, la droite om sera une ligne projetante du point m, et le point où elle ira rencontrer un plan donné sera la projection conique, ou centrale, ou polaire du point m, le point o étant le centre ou le pôle des projections. Si l'on projette de même tous les points d'un corps, la projection conique ainsi obtenue sera l'ombre portée du corps sur le plan de projection, si le point o est un point lumineux, et elle en sera la perspective, si le point o est l'oeil d'un observateur. ”

“ C'est dans cet ouvrage que se trouve démontrée pour la première fois, dans toute sa généralité, cette belle propriété de la projection stéréographique qui est le fondement de la construction du Planisphère, à savoir que : tout cercle se projette suivant un cercle. ”

“ PROFILS PARALLÈLES. Quand la surface du terrain ne présente pas des formes très-accentuées, et que le plan est dessiné à une grande échelle , on peut faciliter le lever des courbes en traçant, sur le terrain, des profils parallèles et équidistants sur lesquels on cherche directement les points de passage des courbes que l'on rapporte en même temps sur la planchette. ”

“ Supposez une face plane et de niveau , un plancher, par exemple, au-dessous de ce corps tombant; n'est-il pas vrai que toutes les parallèles engendrées par les différens points du corps, viendront percer la face ou le plan chacune en un point ? Hé bien ! l'ensemble de tous ces points est ce qu'on nomme la projection horizontale du corps, et les parallèles qui unissent ces points à ceux du corps remis dans sa première position, sont appelées lignes projetantes. ”