Groupe quaternaire

“ QUARTO, (Librairie.) un livre in-quarto est celui dont la feuille est pliée en quatre.
Quarto, s. m. (Comm.) que l’on appelle plus ordinairement quartant, petite futaille qui fait le quart d’un muid, d’une queue, ou de quelqu’autre semblable tonneau. Voyez Quartaut. ”

“ Voici une mienne proposition (que peut-être vous aurez aussi trouvée) que j'estime beaucoup, bien qu'elle ne découvre pas tout ce que je cherche, que sans doute j'achèverai d'apprendre de vous : En la progression double, si d'un nombre quarré, généralement parlant, vous ôtez 2 ou 8 ou 32 etc., les nombres premiers moindres de l'unité qu'un multiple du quaternaire, qui mesureront le reste, feront l'effet requis. ”

“ Assimilant les groupes humains aux termes d' une série numérique , Fourier , peut être sous l' empire de l' enseignement régimentaire , déclare qu' il y a série simple partout où il y a trois groupes humains , parce qu' ils doivent se distinguer en un groupe de centre et deux groupes d' ailes . ”

“ On ne peut par conséquent reconnaître aux actions de milieu le pouvoir de donner naissance à des races; il vaut mieux rester dans un doute philosophique. — Je crois avoir répondu suffisamment, même dans ce Rapport, à cette objection. Quiconque ne s'en tiendra pas à l'examen d'un groupe plus ou moins restreint, quiconque aura porté son attention sur l'ensemble des êtres organisés trouvera un nombre de faits plus que suffisant pour motiver une généralisation. ”

“ Enfin, si l’on classe les hommes d’après la forme du crâne ou d’après la section des cheveux, les groupements humains se constituent d’une autre manière, mais toujours avec les juxtapositions les plus bizarres. Et les alliances, les croisements de toute espèce, accomplis de gré ou de force, en commerce pacifique ou en temps de guerre et de conquête, combien n’ont-ils pas modifié à l’infini les éléments premiers de ce que l’on appelle maintenant une race et qui est en réalité un simple groupement local et temporaire ! ”

“ Enlevons cette base indispensable, le polygénisme, et tout notre édifice scientifique s'écroule et tombe à rien. En effet, une marche du développement commençant par un groupe primordial, se ramifiant et se différenciant en nombre de branches et en quantité de tribus diverses, ne pourrait se concilier avec la réalité historique qui nous montre une unification et une agglomération continuelle et croissante des groupes hétérogènes en sociétés toujours grandissantes à mesure qu'elles s'unifient et s'assimilent. ”

“ Une troisième division s’est produite par la formation de grandes variétés au sein de ces trois grandes races, et enfin en quatrième lieu il faut distinguer des formations de types résultant de la combinaison plus ou moins simple ou complexe de ces grandes races. L’histoire n’a guère affaire qu’aux formations du quatrième degré. Aussi longtemps que la race demeure pure, la mentalité constitutive des membres d’un peuple reste uniforme et immuable. Le mélange des éléments ethniques d’un peuple avec des éléments étrangers constitue la dégénération de ce peuple. ”

“ « Avant de nous séparer, dit M. Levasseur, il n'est peut-être pas inutile d'employer les quelques minutes qui nous restent encore', à faire un examen de conscience, à voir ensemble ce que nous avons fait, et surtout si nous avons fait ce qu'il nous était possible d'accomplir. Notre session est la huitième de ce congrès, dont l'organisation première est due à notre vénéré doyen, M. Quetelet. » (Applaudissements prolongés.) ”

“ Cette condition peut se transformer si l’on remarque que, par définition, pour un groupe intégrable tend vers zéro. De sorte qu’un groupe intégrable est un ensemble d’étendue extérieure nulle ou, si l’on veut, un ensemble mesurable J et d’étendue nulle. ”

“ Ce produit porte le nom de quarré, parce que, comme on le verra bientôt, il représente dans la comparaison des superficies, celle du carré qui aurait pour côté une droite contenant autant de mesures qu'il y a d'unités dans le nombre qu'on multiplie par lui-même. Mais, pour qu'il n'y ait jamais équivoque entre le quarré numérique et le carré quadrilatère, nous écrirons le premier par qu et le second par c.
Ceux qui possèdent bien le livret ou la table de multiplication, savent par cœur les carrés des 12 premiers nombres. ”

“ Rien ne paraît plus propre à mettre en évidence l'assentiment que notre congrès a rencontré partout, que le simple relevé des listes de présence, qui témoigne que vingt-six pays différents s'y trouvent représentés. ”

“ Pour que cette manière de juger fût légitime, il faudrait que les variations constatées d'un groupe humain à l'autre fussent en dehors de celles que présentent, chez les autres êtres organiques, les groupes bien formellement reconnus pour n'être que des races d'une même espèce. ”

“ DU QUATRAIN.
Le quatrain est une petite pièce composée de quatre vers, qui renferment un sens complet ; tel est celui ci , sur des oeillets cultivés par le prince de Condé. à Chantilly.
En voyant les oeillets qu'un illustre guerrier
Arrosa d'une main qui gagna des batailles ,
Souviens-toi qu'Apollon bâtissait des murailles,
Et ne t'étonne point que Mars soit jardinier. ”

“ Qu'un tel type « puisse être constitué, c'est ce qu'on ne saurait mettre en doute, puisqu'il est la matière immédiate de la science; car il se confond avec le type générique ». — Faut-il donc admettre que, pour Quetelet et pour M. Durkheim, les notions de type normal et de type moyen aient la même valeur et le même sens, et, en particulier, que, pour Quetelet, le type moyen ait une réalité propre, et distincte de celle des individus qui s'y conforment? ”

“ Dans tout quadrilatère, plan ou gauche, la somme de quarrés tant des côtés que des diagonales est quadruple de la somme des quarrés des droites qui joignent tant les milieux des côtés opposés que ceux des diagonales. ”

“ Si les deux ressorts interviennent combinément, le groupe est composé; s'il n'est stimulé que par l'un des deux ressorts, il est groupe simple : il devient mixte, s'il est mu par deux ressorts de groupes différents ; il est sur-composé, si aux deux ressorts d'un groupe s'en joint quelqu'un d'un autre groupe ; et bi-composé, s'il réunit quatre ressorts de deux groupes différents.
Les groupes simples, à ressort isolé, sont d'ordinaire Lien méprisable en dominance du matériel ; Lien de duperie en dominance du spirituel. ”

“ Diviser le quadrilatère ABCD en quatre parties équivalentes par des lignes parallèles à l'un des entés adjacents à la base d'opération. (Fig. 30.) Soit S la surface du quadrilatère, calculée à l'aide des perpendiculaires BE, CL et des segments de base AE, EL, LD, et soit CD le côté qui doit être parallèle aux divisoircs FG, IH, KJ, que nous supposerons tracées pour simplifier nos raisonnements. ”

“ Démonstration. En effet, dans les deux quadrilatères les angles en sont égaux comme droits ; de plus, il est aisé de voir que les angles et du premier sont les supplémens respectifs des angles et du second ; donc leurs angles et sont aussi supplément l’un de l’autre ; ce qui prouve que le quadrilatère déjà circonscrit à un cercle, est inscriptible à un autre cercle.
THÉORÈME XII. Dans tout quadrilatère à la fois inscrit à un cercle et circonscrit à un autre, les centres des deux cercles et le point de concours des diagonales appartiennent tous trois à une même ligne droite. ”

“ M. Quetelet, au nom des étrangers, exprima à l'honorable orateur les remercîments de ses collègues pour les nobles sentiments de sympathie que ses paroles généreuses avaient excités en eux. Il rappela en peu de mots ce que la science doit à l'Angleterre. Il parla de la première réunion que la statistique eut, en 1834, à la troisième session de l'Association britannique, à Cambridge, session à laquelle il eut l'honneur d'assister avec MM. Malthus, Babbage, Whewell, Drinkwater, Lubbock, Sykes, le professeur Jones, etc. ”

“ Disons d'une façon générale que les pions se mettent toujours aux angles des petits carrés. Les 4 noirs se mettent indifféremment aux sommets de 4 angles quelconques des quadrilatères composant la croix, par exemple sur les points r, u, y, z, ou tout aussi bien aux points s, r, t, u. Quant aux pions blancs, ils se placent fort symétriquement : on en
met 16 sur les 2 rangées verticales de l'extrémité gauche du quadrilatère, c'est-à-dire en x, p, e, a, b, f, i, j, et en g, q, o, c, d, l, k, n, et de même les 16 autres sur les 2 rangées verticales correspondantes de la droite du quadrilatère. ”

“ Le problème de la quadrature du cercle, qui consiste à construire, à l'aide de la règle et du compas, le côté d'un carré ayant même aire qu'un cercle dont le rayon est donné, ne relève pas de la théorie des groupes, comme nous allons le voir ”

“ Mais, dans la vue d’éviter au calculateur la peine légère d’une division par 4, l’auteur n’a inscrit dans sa table que le quart de chaque quarré, en rejetant l’unité de surplus pour les quarrés impairs. En conséquence, lorsque, des deux facteurs à multiplier, l’un est pair et l’autre impair, le résultat se trouve fautif en moins d’une unité qu’il faut lui restituer. Pour la même raison, lorsqu’on veut avoir, au moyen de cette table, le quarré d’un nombre impair ; il faut non seulement multiplier le nombre qu’on trouve dans la table par mais encore ajouter une unité au produit. ”

“ THÉORÈME. Si tant de quadrilatères qu’on voudra, inscrits à un même cercle, ont un côté commun, les droites qui, dans ces quadrilatères, joindront l’intersection des diagonales et le point de concours des côtés adjacens au côté commun iront toutes concourir en un même point de la perpendiculaire sur le milieu de ce côté commun. ”

“ La loi des grands nombres ne s'applique, disions-nous, qu'à condition que les causes ou les forces qui se combinent de façons variées, ou plutôt que leurs combinaisons elles-mêmes, soient rigoureusement « indépendantes », qu'aucune action ne s'exerce des unes sur les autres. Dans l'ordre des faits organiques étudiés par Quetelet, nous avons remarqué que le plus souvent il n'en était pas ainsi. ”

“ Mais la quarte étant donnée absolument comme une consonnance , il nous semble bien ridicule que l'octave de cette quarte, ou la onzième, ne le soit plus. « C'est impossible, disaient les pythagoriciens; son nombre 8/3 n'est ni un multiple ni un superpartiel 5. » En effet, c'est un superpartient; 8/3 = 2 + 2/3; mais les élèves de nos cours d'harmonie seraient bien étonnés de voir fonder sur des raisons pareilles les règles qu'on leur fait apprendre.
Au reste, Ptolémée lui-même combat le raisonnement des pythagoriciens, et maintient l'octave de la quarte au nombre des consonnances ”

“ QUARTUMVIRS, magistrats inférieurs chez les Romains, avaient soin des rues les jours des pompes religieuses. Ils étaient au nombre de quatre, et ne doivent pas être confondus avec les quatuorvirs.
QUARTZ , minéral exclusivement composé de silice, avec quelques traces fort légères d'alumine. Pur, le quartz est blanc, mais le mélange de substances étrangères lui donne des couleurs variées, et produit ainsi presque toutes les pierres précieuses. Le quartz anhydre prend le nom d'hyalin, qui, complètement et régulièrement cristallisé, est le cristal de roche. Hydraté, c'est l'opale. ”

“ En général, nous observons que chaque terme de la série qui augmente de deux en deux unités, lorsque chaque racine augmente d'unité en unité, égale le quarré de chaque unité, puisqu'il concourt à former successivement chaque quarré des raci nes ainsi croissantes. ”

“ Les courbes qui sont des groupes intégrables sont celles que nous avons appelées quarrables.
Pour avoir un ensemble non mesurable J, il suffit de prendre un ensemble partout dense qui ne contienne aucun intervalle, s’il s’agit d’un ensemble sur la droite ; qui ne contienne aucun domaine, s’il s’agit d’un ensemble dans le plan ; pour un tel ensemble, en effet, l’étendue intérieure est nulle, l’étendue extérieure ne l’est pas. ”

“ THÉORÈME. Soit un quadrilatère complet quelconque, dont les côtés soient indéfiniment prolongés ; que ses trois diagonales soient aussi indéfiniment prolongées ; elles se couperont, deux à deux, en trois points. Par chacun de ces points soient menées des droites aux deux extrémités de la diagonale sur laquelle il ne se trouve pas, on aura ainsi six droites dont chacune déterminera deux points sur deux côtés du quadrilatère ; en sorte qu’on aura en tout douze de ces points, distribués, trois par trois, sur les quatre côtés de ce quadrilatère. ”

“ Après cette communication intéressante, plusieurs membres de l'assemblée prirent successivement la parole pour recommander à l'attention du congrès les propositions contenues dans la lettre qu'on venait de lire. On entendit tour à tour MM. Legoyt, Quetelet et Chadwick, qui s'exprimèrent comme suit : M. Legoyt. — « J'ai l'honneur de proposer à l'assemblée générale de vouloir bien ratifier le projet de résolution suivant : » Le congrès recommande à la considération des divers gouvernements les propositions comprises dans la lettre de Mlle Nightingale. (Très-bien ! Appuyé.) » ”

“ Le plus souvent, associés à des Blancs de races secondaires diverses, ils ont enfanté ces grandes races mixtes que j'ai cru devoir examiner à part, à raison de leur multiplicité et de l'aire étendue qu'elles ont envahie. Nous les retrouverons donc plus loin. Ici je me borne à dire que, dans ces populations mélangées, le type jaune est tantôt dominateur et ressort presque pur, tantôt subordonné au point de disparaître plus ou moins complètement; et que, plus on étudie ces groupes mixtes, plus on voit se multiplier les formes intermédiaires placées entre les extrêmes. ”

“ Ainsi on dit l’avant-quart du quart, ou pour le quart, l’avant-quart de la demie, ou pour la demie, & de même pour les trois quarts, pour l’heure. Le P. le Comte s’est aussi servi de ce mot, pour exprimer une division des cadrans solaires. Les Chinois sur les cadrans solaires (car ils en ont de très-anciens) marquoient de quatre en quatre diminutions une espèce d’avant-quart, qui tous ensemble faisoient 24 petites parties, dont la somme étoit égale à quatre divisions générales, afin que tout le cercle fût partagé en cent parties égales. ”