Sphéricité

“ « La sphère apparaît comme le prototype, comme l’unité de tous les corps et de toutes les formes. Pas un angle, pas une ligne, pas un plan, pas une surface ne se montre en elle, et cependant elle a tous les points et toutes les surfaces. »
À cette obscure géométrie, succèdent des vues sur les rapports mystérieux de la sphère et de la vie morale. « Travailler consciencieusement au développement de la nature sphérique d’un être, c’est faire son éducation. » Comprendra qui pourra ! ”

“ Nous nous efforçons d’atteindre en chaque objet les éléments générateurs, comme nous les atteignons dans la sphère, dans le cylindre, dans le cercle, dans le cône, et dans tous les composés mathématiques. Nous réduisons les corps naturels à deux ou trois sortes de mouvements, attraction, vibration, polarisation, comme nous réduisons les corps géométriques à deux ou trois sortes d’éléments, le point, le mouvement, la ligne, et nous jugeons notre science partielle ou complète, provisoire ou définitive, suivant que cette réduction est approximative ou absolue, imparfaite ou achevée. ”

“ « La Terre est sphérique, car toutes ses parties s’efforcent vers son centre de gravité. » L’eau et la terre y tendent toutes deux, ce qui donne à la surface des eaux la forme d’une portion de sphère ; la sphère serait parfaite si les eaux étaient en quantité suffisante. ”

“ J'ai fait voir, dans le second livre de la Mécanique céleste, que parmi toutes les lois d'attraction décroissante à l'infini par la distance, la loi de la nature est la seule qui jouisse de ces propriétés : dans toute autre loi d'attraction, l'action des sphères est modifiée par leurs dimensions. ”

“ II. Les propriétés caractéristiques de la sphère sont, 1.o que toutes celles de ses cordes qui passent par un certain point fixe y ont leur milieu ; 2.o que ces cordes sont toutes d’une même longueur. Les surfaces qui jouissent de la première de ces deux propriétés sont les surfaces qui ont un centre, et dont il est facile d’obtenir l’équation générale. On propose de donner également l’équation la plus générale des surfaces qui jouissent de la dernière propriété sans jouir de la première ? ”

“ Les unités nouvelles nous montrent que, dans le toucher sphérique, la pensée définit les rapports mouvants qui existent entre les surfaces de nos doigts par des images si ressemblantes à celles qui ont fait découvrir les lois de la gravitation universelle que cette découverte même semble en quelque sorte reliée à l’harmonie fonctionnelle de notre mécanisme sensitif. La perspective des réalités externes ainsi que celle des réalités internes semblent se manifester comme si les mêmes forces étaient en jeu, comme si le discernement de toute chose reposait sur une base unique. ”

“ La vîtesse d’un corps qui circule dans une section conique quelconque est à la vîtesse d’un corps qui fait sa révolution dans un cercle à la distance de la moitié du parametre principal, comme cette distance est à la perpendiculaire abaissée du foyer de la section sur la tangente. ”

“ Lorsque l'on se propose d'étudier les lois intégrales de l'équilibre d'élasticité, dans un milieu solide li- d mité par des surfaces de forme déterminée, la sphère et les enveloppes sphériques conduisent aux résultats les plus complets. ”

“ Quittez ces abstractions, faites un premier pas vers la nature, la grandeur se détermine vous rencontrez l’étendue et bientôt le mouvement. L’étendue, dans ses déterminations et ses lois universelles, voilà l’objet de la géométrie ; le mouvement, considéré d’une manière abstraite, voilà l’objet de la mécanique rationnelle. ”

“ Nos remarques, jusqu’à présent, s’appliquent surtout à la masse en général, mais on ne doit pas oublier qu’elle présente simultanément un double aspect, masse externe, masse interne, et que le rapport de l’une à l’autre offre un intérêt singulier pour l’étude de la forme dans l’espace. ”

“ Combien de Newtons inconnus, dont les yeux passifs ne virent dans ces puissantes sphères qui diamantent l’espace infini, que des paillettes de clinquant, clouées dans le ciel pour éclairer les minuits de leur ville natale ! ”

“ Toute figure superficielle ou solide, produite par le mouvement d’une ligne ou d’une surface, est égale au produit de la quantité qui l’engendre, par la ligne que décrit son centre de gravité. Voyez l’art. ”

“ Une superficie plane est celle dont toutes les parties toucheront exactement une règle superposée. La surface d’une eau pure et dormante lui sera très-semblable. La superficie sphérique affecte les contours d’une sphère. On définit celle-ci : un corps arrondi, courbe en toutes ses parties, au centre duquel est un point équidistant de tous ceux de sa surface. ”

“ Si la forme sphérique que prennent tous les mondes, n'est pas due aux pressions de l'espace ou de l'éther, serait-elle une conséquence de l'appel intérieur de la masse; appel centralisé dans son noyau? ”

“ Un professeur de mathématiques de mes amis enseigne la géométrie à ses élèves en commençant par la sphère ; c’est de la considération empirique de la sphère qu’il part pour arriver à la notion abstraite du plan, de la ligne et du point. Telle est justement la marche qu’a suivie le travail dans la détermination des catégories et la découverte des signes primitifs ou éléments des sciences. ”

“ La mesure d’un angle sphérique est l’arc d’un grand cercle de la sphere, intercepté entre les deux plans, dont la rencontre forme cet angle, & coupant à angles droits ces deux mêmes plans. Pour les propriétés des angles sphériques, voyez Sphérique.
L’angle solide est l’inclinaison mutuelle de plus de deux plans, ou d’angles plans, qui se rencontrent en un point, & qui ne sont pas dans un seul & même plan. Quant à la mesure, aux propriétés, &c. des angles solides, voyez Solide. ”

“ Malgré le penchant naturel à regarder la terre comme une sphère parfaite, le simple désir de perfectionner cette mesure fondamentale, en donnant à l'arc plus d'étendue, aurait sans doute inévitablement conduit à découvrir la vraie figure, par la seule inégalité des degrés les plus opposés. ”

“ Ainsi, les qualités physiques d'un corps inorganique, principalement quand il est solide, sa forme, sa consistance, sa pesanteur spécifique, son élasticité, etc., présentent, pour un temps considérable, une fixité numérique remarquable, qui permet de les considérer réellement et utilement sous un point de vue mathématique. ”

“ Donnons maintenant un exemple d’un continu à deux dimensions qui est fini mais sans bornes. Imaginons la surface d’une grande sphère et un grand nombre de petits disques circulaires de papier d’égale grandeur. Nous appliquons un de ces petits disques de papier en un endroit quelconque de la surface de la sphère. Déplaçons-le avec le doigt sur la surface sphérique dans une direction quelconque ; nous n’arriverons jamais dans cette pérégrination à une borne. Nous disons en conséquence que la surface sphérique est un continu illimité. La surface sphérique est en outre un continu fini. ”

“ Quelles que soient les forces que l’on considère, elles sont proportionnelles à l’effet qu’elles produisent ou tendent à produire. — Les forces d’élasticité tendent à détruire la différence entre la forme naturelle des corps qui en sont doués et la forme que les mêmes corps ont été forcés de prendre par l’action d’une cause extérieure. — Les forces d’élasticité qui agissent sur un corps élastique quelconque, ont donc pour mesure la différence entre la forme naturelle de ce corps, et la forme qu’une cause extérieure le force de prendre. ”

“ Toute la machine des cieux mobiles, étant de forme ronde, constitue un globe, une sphère. Les mathématiciens définissent la sphère : Un corps solide contenu sous une seule surface, de laquelle surface tous les points sont également éloignés du centre; ou bien tel que toutes les lignes menées du centre à la circonférence sont égales. ”

“ Or, comme la première forme doit appartenir au premier corps, et que ce premier corps est celui qui est à la circonférence extrême, il en résulte que le corps, qui se meut d’un mouvement circulaire, doit être sphérique. ”

“ On terminera ce qui concerne la sphère, en énonçant des propriétés de cette figure, analogues à celles que possède le cercle à savoir : que la sphère est plus grande que tout polyèdre de même surface, et qu'à égalité de volume, la sphère est le solide qui présente le moins de surface. ”

“ Elle joue toujours, sous une forme ou sous une autre, le même rôle que nous lui voyons jouer dans les lois élémentaires de la physique, représentées par des courbes. L’expérience donne les points qui, sur le papier, représentent les mesures réellement faites ”

“ Les véritables dimensions de l’objet, considérées en lui-même, donnent ce qu’on appelle la grandeur réelle, et l’ouverture de l’angle visuel détermine la grandeur apparente ; d’où l’on voit que la grandeur réelle étant une quantité constante, la grandeur apparente varie continuellement avec la distance. ”

“ La solidité de la sphère est égale au produit de la surface de ce corps, par le tiers de son rayon ; ou la solidité de la sphère est égale au produit de la surface d'un de ses grands cercles, par les deux tiers du diamètre. ”

“ Le premier théorème général de dynamique est celui que Newton a découvert relativement au mouvement du centre de gravité d'un système quelconque, et qui est habituellement connu sous le nom de principe de la conservation du mouvement du centre de gravité. ”

“ Entre un corps mû et un autre corps mû, c’est suivant les rapports de la masse et de la vitesse que tous ces mouvements sont reçus, augmentés, diminués, perdus : chaque diversité est uniformité, chaque changement est constance. ”

“ Ainsi, les corps arrondis ou à superficies courbes, sont ceux sur lesquels on ne peut appliquer une règle ; telle qu'une boule ou forme appelée sphérique. Ou peut toujours appliquer la règle en tous sens sur un plan ou superficie plate.
Diversité des corps solides.
Corps rond. — Corps parfait de régularité qui se termine par une seule surface courbe rentrante sur elle-même. Un œuf ou sphéroïde est terminé aussi par une seule surface arrondie et allongée. Les procédés mécaniques de l'industrie produisent une infinité de corps à surfaces courbes. ”

“ Sachons reconnaître que nos mesures, adaptées à notre taille, à la durée de notre existence, empruntées aux dimensions et au mouvement de ce point de l'univers que nous habitons; que ces mesures, dis-je, et pour l'espace et pour le temps, sont hors de proportion avec les dimensions et la durée des oeuvres du Créateur. ”

“ Les forces par lesquelles les corps, qui se meuvent dans des espaces libres, sont détournés du mouvement rectiligne & contraints à décrire des courbes, sont entr’elles comme les fléches des arces évanouissants parcourus en temps égaux, & ces fléches convergent vers le centre des forces, & coupent les cordes des arcs évanouissants en deux parties égales ”

“ On sent que ce que nous venons de dire de la perspective de la sphère, doit, avec les restrictions et modifications convenables, s’entendre également de la perspective de tous les corps de forme analogue ”

“ Mis en présence de l’innombrable multitude des phénomènes naturels, phénomènes où se modifient non seulement les attributs géométriques des corps, leurs grandeurs, figures et mouvemens, mais encore leurs attributs purement qualitatifs, les propriétés qu’expriment les mots d’être chaud ou froid, lumineux ou obscur, coloré en rouge ou coloré en bleu, le physicien cherche à donner de ces attributs une représentation mathématique ”

“ D'une manière analogue, la longueur d'une circonférence.
la surface d'un cercle, la surface et le volume d'une sphère sont fonctions du rayon pris pour variable indépendante, et réciproquement ; — le volume d'une masse de gaz est fonction de la pression qu'il supporte, et réciproquement ; — l'espace parcouru par un mobile de vitesse uniforme est fonction du temps, et réciproquement, etc... ”

“ Ainsi la matière, dans le changement, est sujet et de plus sujet indéterminé. — Ces deux caractères de la matière, nous pouvons les lui retrouver par une analyse faite du point de vue statique. Considérons une chose artificielle qui ait de l’unité et, dans une certaine mesure du moins, constitue un être. ”

“ Statique et Dynamique. Les forces peuvent ou faire équilibre à d'autres forces, ou entraîner un changement dans l'état de mouvement des corps. L'étude du premier de ces effets constitue la statique; l'étude du second, la dynamique. Nous avons ainsi, avec la cinématique définie ci-dessus, les trois grandes divisions de la mécanique pure, abstraite ou générale. ”

“ Prenons une sphère que nous supposerons matérialisée par une mince lame d'étain ou une feuille de papier, ou même une sphère en caoutchouc. Si nous la froissons dans la main, comme pour la rouler en boule, ou plus simplement si nous l'écrasons pour lui donner une forme moins régulière et qui peut naturellement être concave, nous transformerons cette sphère en une surface qui sera, du point de vue topologique, identique à la première, parce que les relations de point à point, ou certaines propriétés des courbes tracées sur cette surface, seront toujours les mêmes. ”

“ SOLIDE, s. m. en Géométrie, est une portion d’étendue qui a les trois dimensions, c’est-à-dire, longueur, largeur, & profondeur. Voyez Dimension.
Ainsi, comme tous les corps ont les trois dimensions, solide & corps sont souvent employés comme synonymes. ”

“ II. Construire quatre sphères de manière que deux d’entre elles se touchent en un point donné, que les deux autres se touchent aussi en un point donné, touchent chacune de celles-là, et touchent à la fois les deux faces d’un angle dièdre donné ? ”

“ C’est d’après eux comme d’après un modèle impérissable que l’auteur des choses a créé les premiers objets particuliers et présidé ainsi à la formation de ces lignes d’individus qui se sont reproduits selon chaque type sans interruption. Un homme qui a conçu la sphère en soi peut sculpter une multitude de sphères particulières de dimension et de substance différentes. ”