Péréquation

“ J’observerai d’abord que, pour résoudre une équation, il faut successivement abaisser son groupe jusqu’à ne contenir plus qu’une seule permutation. Car, quand une équation est résolue, une fonction quelconque de ses racines est connue, même quand elle n’est invariable par aucune permutation. ”

“ Les Mathématiques mixtes ont autant de divisions et de subdivisions qu’il y a d’être réels dans lesquels la quantité peut être considérée. La quantité considérée dans les corps en tant que mobiles, ou tendant à se mouvoir, est l’objet de la Mécanique. La Mécanique a deux branches, la Statique et la Dynamique. La Statique a pour objet la quantité considérée dans les corps en équilibre, et tendant seulement à se mouvoir. La Dynamique a pour objet la quantité considérée dans les corps actuellement mus. ”

“ Tout système matériel est pesant, d’un poids exactement proportionnel à sa masse. Nous n’avons aucune raison, aucun moyen, de distinguer dans cette masse une fraction attribuable à la Matière, et une fraction attribuable à l’énergie qu’elle transporte. ”

“ La vîtesse d’un corps qui circule dans une section conique quelconque est à la vîtesse d’un corps qui fait sa révolution dans un cercle à la distance de la moitié du parametre principal, comme cette distance est à la perpendiculaire abaissée du foyer de la section sur la tangente. ”

“ Cette distinction des parties, dont l’intégrale doit être composée, est très-importante, parce qu’elle fait connaître clairement la forme de la solution, et les relations nécessaires entre les coëfficients.
5o Il reste à déterminer les seules constantes qui dépendent de l’état initial, ce qui se fait par l’élimination des inconnues dans un nombre infini d’équations du premier degré. On multiplie l’équation qui se rapporte à l’état initial par un facteur différentiel, et l’on intègre entre des limites définies, qui sont le plus souvent celles du solide où le mouvement s’accomplit. ”

“ Prenez un polynôme quelconque de la forme
étant un nombre entier positif, moindre d’une unité que le nombre qui exprime le degré de l’équation demandée. Multipliez ce polynôme par moins ou plus une quantité réelle et connue ; et égalez le produit à zéro. Le problème sera résolu ; car, en premier lieu, l’équation ainsi formée est nécessairement du degré qui, par hypothèse, est le degré prescrit ; et, en second lieu, l’une des deux quantités ou est évidemment racine de cette équation.
10. Corollaire. Il y a, dans tous les degrés, une infinité d’équations qui ont au moins une racine réelle. ”

“ Mais il y a plus, et dès lors qu’on regarde comme établie l’équation de répartition, on trouve, pour la première fois, dans cette équation même, pour déterminer la constante un moyen susceptible d’une précision illimitée. ”

“ Quels que soient le nombre, la grandeur et la direction de ces forces, si l’on fait varier infiniment peu, d’une manière quelconque, la position du point, le produit de la résultante par la quantité dont le point s’avance suivant sa direction est égal à la somme des produits de chaque force par la quantité correspondante. La quantité dont le point s’avance suivant la direction d’une force est la projection de la droite qui joint les deux positions du point sur la direction de la force ”

“ Dans la géométrie élémentaire, l’arithmétique, la statique et plus généralement dans toutes les sciences où l’on fait usage de la méthode synthétique, en allant du simple au composé, on prend pour point de départ ces éléments, axiomes ou définitions, et on s’élève de proche en proche, jusqu’aux propositions les plus complexes... ”

“ La comparaison des éléments matériels, c’est-à-dire la définition de la masse, peut se déduire de l’expérience fondamentale d’après laquelle tous les corps tombent de la même manière dans un même champ constant et des mesures statiques des forces. ”

“ La Mécanique Rationnelle présuppose, tout en étant sous leur dépendance, les lois du nombre et de l'étendue, et, avec elles, un autre groupe de lois, celles de l'Équilibre et du Mouvement. Les vérités de l'Algèbre et de la Géométrie ne dépendent nullement de ces dernières, et eussent été vraies, fût-il arrivé à celles-ci d'être le contraire de ce que nous les trouvons; mais on ne saurait comprendre ni exposer.les phénomènes de l'équilibre et du mouvement sans supposer les lois du nombre et de l'étendue telles qu'elles
existent dans la réalité. ”

“ Toute valeur négative trouvée pour une inconnue par la résolution d’une équation, exprime, abstraction faite du signe de cette valeur, la différence de deux autres quantités, dont la plus grande a été prise pour la plus petite, et la plus petite pour la plus grande, dans l’expression des conditions du problème.
Dém. Pour mettre un problème en équations, on commence toujours par procéder comme dans la synthèse, c’est-à-dire que toutes les quantités sur lesquelles on établit le raisonnement sont considérées comme absolues. ”

“ Les mathématiques concrètes qui étudient des grandeurs concrètes : la géométrie et la mécanique.
§ II. — Méthode des mathématiques.
Construction des notions mathématiques. — Puisque les mathématiques portent sur des quantités et des rapports entre quantités que l'esprit engendre et se donne à lui-même, l'opération primordiale des mathématiques consiste à construire ces quantités et ces rapports. Etudions simplement comment nous formons les idées des divers nombres
et des diverses figures, l'idée de 4, de 5, de triangle, etc. ”

“ L’inégalité a donc lieu et notre démonstration subsiste.
En résumé, pour qu’une courbe fermée corresponde à une action moindre que toutes les courbes fermées infiniment voisines, il faut et il suffit que cette courbe fermée corresponde à une solution périodique instable de la première catégorie. ”

“ Si l’on prend au hasard deux composés définis dans la multitude de ceux qui contiennent les corps simples A et B, et si l’on compare les masses de l’élément B qui s’y trouvent unies à une même masse de l’élément A, on trouve que ces masses sont généralement dans un rapport très simple. ”

“ Dans les deux cas le point d'intersection B des deux droites est appelé le pied de la perpendiculaire ou de l'oblique.
On nomme angle droit tout angle dont l'un des côtés est perpendiculaire
à l'autre.
6. Un théorème est la proposition d'une vérité qu'il faut démontrer.
L'énoncé d'un théorème renferme deux parties, savoir: une hypothèse faite sur un certain sujet et une conclusion qui est la conséquence de l'hypothèse. Le raisonnement que l'on
fait pour déduire la conclusion de l'hypothèse, lorsque leur dépendance n'est pas évidente, est appelé la démonstration du théorème. ”

“ Pour bien comprendre l'objet des mathématiques, il convient de les rapprocher des autres sciences. Nous avons dit que toutes les sciences étudient des lois, c'est-à-dire desrapports de variations corrélatives. Mais tandis que les autres sciences cherchent, dans l'expé- rience, comment varient corrélativement des choses réelles, que le physicien, par exemple, observe comment varie le volume d'un métal quand varie sa température ; les mathématiques, au contraire, étudient des lois possibles, inventées par l'esprit.
Ex. : L'équation du second degré a x2+ bx + c = 0. ”

“ Le nombre des observations étant plus grand que celui des équations de condition, outre le système des corrections les plus plausibles, on peut en trouver un nombre infini qui rendent les équations de condition exactement satisfaites. ”

“ Équation de l’évection. 191.Appliquons les considérations qui précèdent à l’intégration par approximations successives de l’équation
est un coefficient très petit, est une fonction connue de et de dont les termes sont tous de la forme
est un entier, et sont des constantes quelconques. ”

“ Nous supposerons, dans ce qui va suivre, deux cents points placés en ligne droite, a une distance constante h l'un de l'autre; entre le centième et le cent unième, prenons un point P et élevons-y une perpendiculaire à la droite dont il s'agit; sur cette perpendiculaire, prenons un point extérieur M, et désignons par ph la longueur MP, par la distance du point P au cent unième point. Dans ces conditions, j'ai calculé directement, à quatre décimales, les valeurs de pour deux cents points, dans diverses hypothèses sur les valeurs de et de p, en supposant h = J, puis j'en ai fait les sommes. ”

“ Quand les équations d'un système ont été par l'élévation au carré, ou par tout autre procédé, ramenées à une forme telle que tous les constituants qui se trouvent dans leur expansion aient des coefficients positifs, toute équation dérivée, obtenue par élimination, possédera le même caractère et pourra être combinée par addition avec les autres équations ”

“ II. Soit décomposé chaque force, au point où elle rencontre ce plan, en deux autres, dont l’une y soit contenue et dont l’autre lui soit perpendiculaire. Par ce procédé, tout le système se trouvera réduit à deux groupes de forces dont les unes seront dans un même plan, tandis que les autres seront perpendiculaires à ce plan, et conséquemment parallèles entre elles,
III. Les puissances de cette dernière sorte pourront toujours, comme l’on sait, être réduites à deux au plus lesquelles, étant parallèles entre elles et aux composantes, seront dans un même plan perpendiculaire au premier. ”

“ Dans le cas où le mouvement est de translation, tous les déplacements sont parallèles et égaux à celui du centre de masse, et il est clair qu'alors le travail total est le même que si la masse avait été concentrée au centre de masse et que toutes les forces eussent été appliquées en ce point.
263. Théorème des projections. — Ce que nous venons d'énoncer est encore vrai en projection sur un axe quelconque. ”

“ Il est vrai que nous sommes ici dans le domaine de la quantité pure, et que, les propriétés géométriques pouvant se mettre sous forme d’égalités, on conçoit très bien qu’une première équation, exprimant la propriété fondamentale de la figure, se transforme en une multitude indéfinie d’équations nouvelles, toutes virtuelle­ment contenues dans celle-là. ”

“ Dans le premier cas, la force vive est donc proportionnelle au carré de la somme des sinus, et l’énergie potentielle à la somme des carrés de ces mêmes sinus ; dans le second, au contraire, c’est la force vive qui est proportionnelle à la somme des carrés, et l’énergie potentielle au carré de la somme de ces sinus.
45. Cherchons la valeur moyenne de ces quantités : suivant qu’elle sera constante ou variable, il y aura interférence ou non. ”

“ Nous avons vu qu’en donnant aux constantes d’intégration certaines valeurs particulières, les séries (7) représentent une solution périodique de ces équations. Pour achever de déterminer cette solution, nous donnerons également aux constantes d’intégration certaines valeurs particulières. ”

“ Réciproquement, si dans la série exprimée par l’équation (T) on développe la fonction selon les puissances de en ordonnant le résultat par rapport à ces mêmes puissances de les coëfficients de ces puissances se trouvent formés de deux fonctions entièrement arbitraires de ce que l’on peut aisément vérifier en faisant le calcul. ”

“ Nous nommerons en général équations dérivées du premier ordre, du second ordre, etc., ou simplement équations primes, secondes, etc., non seulement les équations dérivées qu'on obtient en prenant les fonctions primes, secondes, etc. de tous les termes d'une équation regardée comme primitive, mais encore les équations qu'on pourra former par une combinaison quelconque de l'équation primitive et de son équation prime, ou de ces deux-ci et de l'équation seconde, etc. Ainsi, l'équation primitive contenant x et y, l'équation dérivée du premier ordre, ou équation prime, contiendra x, y et y' ”

“ Supposons maintenant qu’on donne les valeurs que prennent et en chaque point du volume pour soient par exemple et étant des fonctions des coordonnées et la valeur de sur la surface limite : sera une fonction de supposons de plus qu’à l’intérieur du volume vérifie l’équation :
étant une fonction donnée. ”

“ De là nous tirons, pour la ligue la plus courte, l’équation de condition suivante :
qu’on peut aussi écrire ainsi :
Du reste, à l’aide de l’équation
on peut éliminer, de la précédente équation, l’angle et développer ainsi l’équation différentielle du second ordre entre et qui se trouverait cependant plus compliquée et moins utile pour les applications que la précédente. ”

“ La mesure d'une grandeur quelconque, effet, condition ou cause, étant le résultat de la comparaison de cette grandeur avec une autre de même nature choisie comme terme de comparaison, il en résulte qu'il doit y avoir autant d'unités qu'il y a de grandeurs physiques à mesurer. Aussi, pour chaque effet que nous étudierons, nous aurons à définir l'unité dont on a fait choix. ”

“ Équations du mouvement. — En écrivant que la force d’inertie fait équilibre aux forces qui agissent sur l’élément nous obtiendrons les équations du mouvement :
ou : et deux autres qu’on obtiendrait par permutation. ”

“ Considérons l’équation suivante
est une constante quelconque ; est un paramètre très petit ; est une fonction de et développable suivant les puissances de et de et suivant les sinus et les cosinus des multiples de arguments
S’il n’y avait qu’un seul argument la fonction serait une fonction périodique de de période L’équation (1) admettrait alors une solution périodique de même période. ”