Dérivatif

“ Mais une fois cette convention admise, la dérivation, qui est le moyen par lequel le nombre des mots se multiplie de manière à suffire à tous les besoins de la pensée,
suit une marche logique et régulière, et s'il est impossible de trouver le pourquoi d'une racine, il est toujours possible de trouver celui d'un dérivé. Personne ne peut dire pourquoi en sanscrit la racine tchand signifie briller, ni pourquoi le suffixe ra sert à former des substantifs. ”

“ Il y a plus : dans plusieurs occasions l'apparence de la dérivation nous trompe et nous fait tomber dans des erreurs positives et parfois capitales.
Que l'on compare maintenant ce vague complet avec les règles fixes qu'offrent constamment dans notre langue les dérivations, sur lesquelles on ne peut jamais avoir de doute, ni quant au fait même de la dérivation, ni quant à la racine, ni quant au sens du mot dérivé. ”

“ Ainsi on ne peut énoncer les relations entre fonction totalisée et totale indéfinie en n’employant que la dérivation ordinaire prise sur un intervalle ; il est indispensable de recourir à une généralisation de la dérivée : dérivée prise sur un ensemble ou dérivée approximative. Par suite aussi la généralisation de cet énoncé : toute fonction absolument continue a une dérivée presque partout, laquelle s’énonce : toute fonction résoluble a une dérivée approximative presque partout ne peut être remplacée par une proposition relative à l’existence de la dérivée ordinaire [33] . ”

“ Lorsqu'un ensemble n'est pas réductible, deux cas sont, a priori, possibles. Ou bien, au cours des opérations de dérivation, on arrive à un ensemble dérivé Ex qui est parfait et alors, suivant nos conventions, nous arrêtons à cet ensemble nos opérations de dérivation, c'est-à-dire que nous ne considérons que les dérivés différents E 1, E 2, ... Eα, Ou
bien, les opérations de dérivation donneront toujours des dérivés différents, on aurait un ensemble non dénombrable semblable à S0 de tels dérivés. ”

“ La dérivée est en effet le quotient de l’accroissement infiniment petit [3] de la fonction par l’accroissement infiniment petit correspondant de la variable. Le calcul infinitésimal comprend deux grands chapitres : le calcul différentiel, qui est le calcul des dérivées, et plus généralement se propose de trouver les relations entre « infiniment petits » qui résultent des relations données entre « quantités finies correspondantes. » Dans le calcul intégral, l’on se propose la question inverse (intégration) . ”

“ On peut aller plus loin et démontrer qu’une fonction à variation bornée et à nombres dérivés finis a une dérivée pour un ensemble de points dont le complémentaire est de mesure nulle ; de plus une telle fonction est l’intégrale indéfinie de sa dérivée considérée seulement pour l’ensemble des points où elle existe [31] . ”

“ Mais il y a une autre considération beaucoup plus importante pour notre objet : c'est que les anomalies, dans cette matière, sont si nombreuses et d'une telle nature, que presque tous les avantages qui pourraient se trouver dans les dérivés, disparaissent. A peine s'il y a des mots dont la dérivation suffise pour fixer le sens, et il est nécessaire de savoir individuellement dans chaque cas particulier l'application qu'on doit faire du mot-racine au dérivé, comme il est aussi nécessaire de connaître le sens propre de chacun des mots-racines. ”

“ Elles auraient été fort utiles même si elles n’avaient eu pour effet que de fixer notre attention sur l’intégration et la dérivation assez pour que nous ayons reconnu ceci : l’intégration est toujours une opération analogue à celle qu’il faut faire pour calculer la quantité de chaleur nécessaire pour élever un corps de 1°, en fonction des masses de ses parties et de leurs chaleurs spécifiques ; la dérivation est l’opération inverse. ”

“ Pour passer à vos autres doutes, crois maintenant que vous verrez, Monsieur, comment je l’entends, quand je dis qu’une substance corporelle se donne son mouvement elle-même, ou plutôt ce qu’il y a de réel dans le mouvement à chaque moment, c’est-à-dire la force dérivative, dont il est une suite ; puisque tout état précédent d’une substance est une suite de son état précédent. ”

“ Si l'intégrale indéfinie est donnée comme fonction d'ensemble ou d'intervalle, le problème n'en est pas moins résolu. Examinons ce que devient alors l'opération de dérivation. Que h soit positif ou négatif, le rapport /- [F (x) , x0, xu-{-h] est égal au quotient de la valeur de la fonction considérée W, pour l'intervalle â d'extrémités ,r0 et x0 -+- h, par la mesure de cet intervalle
C'est donc par la considération de tels rapports qu'on obtiendra la dérivée ”

“ Irrégularités dans la dérivation,
où le passage de l’adjectif au substantif contredit souvent la règle générale : Puisque bono d’après la dérivation idiste, signifie un homme bon, richo, un homme riche, santo, un saint, etc., nulo devrait signifier personne et non pas rien, ulo, un homme quelconque et non une chose quelconque, irgo, qui que ce soit, et non, quoi que ce soit, to quo celui qui et non ce qui. ”

“ C'était déjà depuis long-temps un procédé familier aux géomètres, que d'introduire, dans les considérations analytiques, au lieu des grandeurs mêmes qu'ils avaient à étudier, leurs diverses puissances, ou leurs logarithmes, ou leurs sinus, etc., afin de simplifier les équations, et même de les obtenir plus aisément. La dérivation successive est un artifice général de la même nature, qui présente seulement beaucoup plus d'étendue, et procure, en conséquence, pour ce but commun, des ressources bien plus importantes. ”

“ Mais déjà les yeux des derviches brillaient comme des escarboucles, la sueur ruisselait de leurs figures et de leurs cous enflammés, un tremblement visible agitait leurs bras et leurs mains alourdis ; leurs bouches ouvertes cherchaient en vain à alimenter d'air leurs poumons rétrécis ; encore un peu, et il faudra un miracle pour les empêcher de tomber foudroyés sur les planches de l'amphithéâtre ; car si l'âme inspirée ne connaît pas de bornes à son transport, les forces du corps ont une mesure que nul ne peut dépasser, et un derviche tourneur ne doit point tomber... ”

“ Ainsi, exprimera la dérivée de la somme des deux fonctions de même exprimera la dérivée du produit des deux fonctions en général exprimera la dérivée de la fonction des fonctions
Qu’on ait, par exemple, et que le mode de dérivation désigné par consiste à changer en on aura dans ce cas
quoique résultat d’une dérivation, peut, à son tour, devenir le sujet d’une dérivation nouvelle. Soit la caractéristique de cette seconde dérivation, nous représenterons son résultat par Cette dernière dérivée peut pareillement devenir le sujet d’une troisième dérivation ”

“ On conçoit quelle peut être l'importance, en mécanique ou en physique, de ces deux opérations imaginées pour la première fois par Archimède, de la dérivation et de l'intégration.
Fait remarquable, la dérivation ne donne naissance à aucun type nouveau de fonction : la dérivée d'une fonction algébrique est toujours une fonction algébrique, tandis que l'intégration d'une fonction algébrique donne naissance, en général, à une transcendante telle que, entre la nouvelle fonction et la variable, n'existe aucune relation algébrique, si compliquée qu'elle soit. ”

“ Une fonction totalisable est presque partout la dérivée approximative de sa totale indéfinie.
En effet, presque partout aux points de Hα-1 - Hα la fonction totalisable f (x) est la dérivée, prise sur Hα-1, - Hα, de sa totale F (x) . Mais, presque partout sur H (α-1 - Hα, la densité de Hα-1 - Hα est égale à 1 ; donc, presque partout sur Hα-1 - Hα, f (x) est la dérivée approximative de F (x) , et le théorème est démontré. ”

“ Lorsqu’un dérivé contient une infinité de points et n’est pas parfait, son dérivé est par définition le premier dérivé qui vient après lui. Une seconde définition est nécessaire ; pour la formuler, remarquons d’abord que si , , ... sont des dérivés en nombre fini ou dénombrable, s’ils contiennent tous des points et s’ils sont différents deux à deux il existe des points qui leur sont communs à tous. ”

“ Je crois donc que toutes les hypothèses tirées d’un calque se heurtent à des difficultés matérielles et absolues. Je ne parle pas ici des arguments qui ne sont pas ceux d’un témoin, qui serait plutôt ceux d’un avocat : par exemple si Dreyfus avait composé le bordereau à l’aide d’un calque, sachant sur qui il avait calqué, il aurait probablement dénoncé l’auteur de l’écriture, afin de se décharger sur quelqu’un dont il aurait ainsi fac-similé l’écriture. C’est un argument que je donne pour mémoire et qui ne rentre pas dans l’ordre d’une déposition. ”

“ En un mot, les dérivées sans point, sont les coefficiens du développement de et les dérivées suivies d’un point sont les coefficiens du développement de
7. En exécutant, d’après la remarque précédente, les opérations indiquées par les dérivées suivies d’un point, on obtient pour les six premières, en suivant les règles ordinaires de la différenciation, lorsqu’aucune différentielle n’est constante :
et ainsi de suite. ”

“ Il faut, d'ailleurs, soigneusement remarquer à ce sujet une notion nouvelle qu'introduit, dans le système de l'analyse transcendante, la distinction des fonctions à une seule variable et à plusieurs: c'est la considération de ces diverses fonctions dérivées spéciales, relatives à chaque variable isolément, et dont le nombre croît de plus en plus à mesure que l'ordre de la dérivation s'élève, et aussi quand les variables sont plus multipliées. ”

“ Une fonction continue F (x) est dite posséder en x0 une dérivée approximative égale à f (x0) , si f (x0) est la dérivée de F (x) sur on ensemble de densité 1 au point κ0.
(l) On arrivera plus vite à ce résultat en prouvant qu'une fonction non presque partout nulle a une totale indéfinie non identiquement nulle. Dans tout ce Chapitre j'ai préféré, malgré les longueurs qui en résultent, l'examen analytique du procédé opératoire transfini de la totalisation aux raisonnements synthétiques, plus rapides mais qui, à mon avis, font comprendre moins profondement. ”

“ Qui vous dit que l'ensemble n'intéresse pas les mêmes personnes parmi lesquelles, en ce cas, ne pourrait matériellement pas se trouver Dreyfus ?
Il faut se garder de faire naître, par d'aussi vagues généralités, des impressions que rien n'autorise; cela s'appellerait de l'insinuation, si on avait pu supposer de votre part une intention préméditée. Laissons là tout ce qui ne peut être qu'élément de confusion et d'erreur. Ce n'est évidemment que sur les documents que vous avez précisés et discutés qu'on peut apprécier la portée de votre argumentation. ”

“ L’angle de sa vision n’a point varié ; ses malheurs n’ont rien changé à la valeur réelle, intrinsèque des choses ; parce qu’il a fait naufrage, il n’en résulte ni que la somme des trois angles d’un triangle ait cessé d’être égale à deux angles droits, ni que la vie soit mauvaise, la société cruelle et la science inféconde. ”

“ A cette nouvelle, le derviche courut prendre sa pierre : mais après un moment de réflexion il la jeta dans un fossé profond : « Je sens à présent, dit-il, qu il ne faut jamais se venger. Quand notre ennemi est puissant, c'est imprudence et folie : quand il est faible et pauvre, c'est bassesse et cruauté. » ”

“ Ainsi, dès qu'on aura trouvé, par la considération du premier terme du développement, des règles générales pour passer d'une fonction primitive à la fonction dérivée, on pourra faire abstraction de tout développement, et regarder la dérivation des fonctions comme une nouvelle opération d'Algèbre plus générale et d'une beaucoup plus grande étendue que l'élévation aux puissances. ”

“ Mais tout ceci n'est encore qu'une simple idée clc la manière dont la plus grande diversité dans la reproduction peut se concilier avec la plus grande unité de la dérivation rationnelle. Les observations qui servent à faire connaître l'unité de la dérivation doivent servir à décider s'il y a réel- clément une telle parenté dans le genre humain. ”

“ « Une « science qui ne t'arrache pas à toi même, « l'ignorance vaut mieux cent fois que « cette science-là! 1 ». Le derviche sous sa robe de laine en sait plus que le grand médecin avec tout son Aristote : « plus « on sait du monde, moins on sait de « Dieu. » On demandait un jour à Abou Saïd ce que c'est qu'un derviche. Il répondit :
i. Vers de Senâi, poète du XIe siècle. ”

“ De même, il faut bien que, de dérivation en dérivation, on remonte jusqu'à des organismes pimordiaux qui ont dû nécessairement se former de toutes pièces ou, comme on dit, par voie de génération spontanée, quoique en vertu de causes tout à fait distinctes des forces qui régissent le monde inorganique. ”

“ La théorie des équations dérivées, exposée dans la Leçon XII, porte naturellement à conclure que toute valeur qui peut satisfaire à une équation dérivée donnée doit être renfermée dans son équation primitive, pourvu que celle-ci ait toute la généralité dont elle est susceptible par les constantes arbitraires qui doivent y entrer. ”

“ La solution périodique, qui nous a servi de point de départ et qui appartient aux équations (1) pour s’écrivait, on se le rappelle,
Je désigne par la dérivée de cette fonction et voici ce que je me propose de démontrer :
Si n’est pas nul, le déterminant ne peut s’annuler sans que tous les déterminants
s’annulent à la fois. ”

“ Nous serions conduits aux mêmes conclusions en prenant pour une dérivée d’ordre quelconque, prise un nombre quelconque de fois par rapport à chacune des variables de ou même une combinaison linéaire de ces dérivées. ”

“ J’ai donc le droit de dire, sans que nul puisse me démentir que ce n’est pas à propos de la question Millerand que le dissentiment des méthodes s’est produit pour la première fois entre nous, mais que c’est à propos de l’affaire Dreyfus et que c’est à partir de ce moment. (Cris de : Vive Guesde ! Silence, silence.)
Delory. — Voyons, citoyens, on vous a demandé de ne pas faire d’interruptions, écoutez ; vous serez alors libres de juger quelle est la méthode que vous voulez adopter. ”