Quadragesime

“ Le plus grand quarré qui le mesure est l'unité; le quotient 77, qui est ici le même que le nombre donné, se trouve mesuré par II ou par 7, moindres de l'unité qu'un multiple du quaternaire. Je dis que 77 n'est ni quarré, ni composé de deux quarrés, ni en entiers ni en fractions. Etc.
Je vous avoue franchement que je n'ai rien trouvé en nombres qui m'ait tant plu que la démonstration de cette proposition, et je serai bien aise que vous fassiez effort de la trouver, quand ce ne seroit que pour apprendre si j'estime plus mon invention qu'elle ne vaut. ”

“ Quadrans magicum, est une disposition de certains nombres en carré, de manière que ceux d’une même file, & ceux d’un même rang, & ceux qui composent les deux diagonales étant ajoutés ensemble, fassent toujours une même somme, comme si on met au premier rang deux-cens soixante-seize, au second neuf-cens cinquante-un, au troisième quatre-cens trente-huit, de quelque côté qu’on assemble ces nombres, ils feront quinze. On l’appelle magique, parce que c’est un problême très-difficile. ”

“ Ce produit porte le nom de quarré, parce que, comme on le verra bientôt, il représente dans la comparaison des superficies, celle du carré qui aurait pour côté une droite contenant autant de mesures qu'il y a d'unités dans le nombre qu'on multiplie par lui-même. Mais, pour qu'il n'y ait jamais équivoque entre le quarré numérique et le carré quadrilatère, nous écrirons le premier par qu et le second par c.
Ceux qui possèdent bien le livret ou la table de multiplication, savent par cœur les carrés des 12 premiers nombres. ”

“ Nous avons déjà dit plus haut que le quadrilatère est un polygone de quatre côtés, ou, si l'on veut, la surface renfermée entre quatre lignes ou côtés.
Les côtés peuvent être de longueurs différentes; ils peuvent être ou ne pas être parallèles; l'ouverture des angles peut varier ; de là des quadrilatères de formes très-diverses, parmi lesquels on distingue le trapèze 1, le parallélogram me 2, le losange 3, le rectangle et le carré. ”

“ Si l’on ajoute la première équation avec la troisième, la seconde avec la quatrième et la troisième avec la sixième, il viendra
Ainsi, dans tout quadrilatère, plan ou gauche, la somme des quarrés de deux côtés opposés, plus deux fois le quarré de la droite qui joint leurs milieux, est une quantité constante et égale à deux fois la somme des quarrés des distances des sommets au point d’intersection des droites qui joignent les milieux des côtés opposés. ”

“ La grande loi de réciprocité quadratique donnée par Gauss et démontrée une seconde fois par ce grand mathématicien, à la suite des recherches d'Euler et Legendre sur le même sujet, puis une quatrième, une cinquième, une sixième fois, toujours par Gauss, fut de nouveau l'objet des travaux de Jacobi, Eisenstein, Liouville, Lebesgue, Kummer, A. Stern, Zeller, Kronecker, Bouniakowsky, Shering, Petersen, Voigt, Busche, Th. Pépin. Tout spécialement, le mémoire de Genocchi sur le même sujet, Sur la théorie des résidus quadratiques, fut couronné par l'Académie des sciences de Bruxelles. ”

“ Dans tout quadrilatère inscrit à une parabole, le point de concours du côté avec le diamètre passant par le point de concours du côté avec le diamètre passant par et enfin le point de concours du côté avec la tangente en appartiennent tous trois à une même droite (fig. 5) [2] .
Si l’on suppose (fig. 2) que, les deux côtés demeurant toujours tangens à la courbe, l’angle diminue jusqu’à devenir nul ; deviendra le point commun de contact de et avec cette courbe, le pentagone deviendra un quadrilatère ; et l’on aura le théorème suivant :
THÉORÈME 6. ”

“ Le problème de la quadrature du cercle, qui consiste à construire, à l'aide de la règle et du compas, le côté d'un carré ayant même aire qu'un cercle dont le rayon est donné, ne relève pas de la théorie des groupes, comme nous allons le voir ”

“ Lorsqu'un quadrilatère circonscrit.à une conique a pour points de contact les sommets d'un quadrilatère inscrit, les diagonales des deux quadrilatères passent par le même point. (NEWTON.)
On peut placer une conique quelconque sur un cône de révolution (n° 2212) . Par le sommet du cône et par chaque côté des deux quadrilatères, ainsi que par les diagonales, on mène des plans. Le quadrilatère circonscrit donne une pyramide quadrangulaire circonscrite. En coupant le cône par un plan perpendiculaire à l'axe, on obtient un cercle inscrit et circonscrit à deux quadrilatères ”

“ QUADRATEUR Au XVIIIe siècle, le chevalier de Caussans, prétendit avoir résolu la quadrature du cercle et déposa mille écus chez un notaire pour celui qui prouverait la fausseté de sa solution. Une dame fit la preuve et actionna Caussans devant le Châtelet. Les juges indulgents déclarèrent le pari nul et le quadrateur mourut dans l’impénitence finale.
« Ceux qui ne savent pas de mathématiques, dit La Caille, n’ont que trop souvent le malheur de trouver la quadrature exacte du cercle refusée aux autres. » ”

“ Que la décomposition du nombre en trois quarrés équivaut à quarante-huit représentations, si aucun n’est nul, et qu’ils soient tous inégaux ; à vingt-quatre, si l’un des quarrés est nul et que les autres soient inégaux, ou qu’aucun ne soit nul et que deux soient égaux. Mais si deux quarrés sont nuls, ou que l’un d’eux soit nul, tandis que les deux autres sont égaux, ou enfin qu’ils soient tous trois égaux, la décomposition équivaudra à six, à douze ou à huit représentations. ”

“ La formation des quarrés des nombres naturels est d'autant plus simple et facile, qu'elle s'opère en additionnant successivement les termes de la progression génératrice des quarrés 1,3, 5, 7, etc., etc., et peut être ainsi continuée jusqu'aux plus grands nombres. Lorsqu'on connaîtra les quarrés des plus grands nombres, on trouvera aisément les produits des multiplicandes par les multiplicateurs, puisqu'il suffira de soustraire , à chaque opération, le quarré de la moitié de la différence du multiplicande et du multiplicateur, du quarré de la moitié de la somme de ces deux facteurs. ”

“ La quadrature du cercle ou la maniere de faire un quarré dont la surface soit parfaitement & géométriquement égale à celle d’un cercle, est un problème qui a occupé les mathématiciens de tous les siecles. ”

“ THÉORÈME. Soit un quadrilatère complet quelconque, dont les côtés soient indéfiniment prolongés ; que ses trois diagonales soient aussi indéfiniment prolongées ; elles se couperont, deux à deux, en trois points. Par chacun de ces points soient menées des droites aux deux extrémités de la diagonale sur laquelle il ne se trouve pas, on aura ainsi six droites dont chacune déterminera deux points sur deux côtés du quadrilatère ; en sorte qu’on aura en tout douze de ces points, distribués, trois par trois, sur les quatre côtés de ce quadrilatère. ”

“ Plus on supposera grands les nombres s et n, plus les ordonnées décroîtront rapidement en s'éloignant du maximum. Ainsi l'aire Z' ne pourra être qu'une petite portion du rectangle M x 1, de sorte qu'on aura Z' = , k. étant une fraction assez petite.
Au reste , la méthode des quadratures pourra , dans tous les cas , donner la valeur de Z' avec un degré d'approximation aussi grand qu'on voudra, et auquel les formules analytiques connues ne sauraient atteindre. ”

“ Disons d'une façon générale que les pions se mettent toujours aux angles des petits carrés. Les 4 noirs se mettent indifféremment aux sommets de 4 angles quelconques des quadrilatères composant la croix, par exemple sur les points r, u, y, z, ou tout aussi bien aux points s, r, t, u. Quant aux pions blancs, ils se placent fort symétriquement : on en
met 16 sur les 2 rangées verticales de l'extrémité gauche du quadrilatère, c'est-à-dire en x, p, e, a, b, f, i, j, et en g, q, o, c, d, l, k, n, et de même les 16 autres sur les 2 rangées verticales correspondantes de la droite du quadrilatère. ”

“ Il fut induit dans cette erreur, faute d’avoir reconnu la possibilité du contact ou de l’intersection des deux coniques dans cet autre cas.
L’autre espèce est quadrinôme, à savoir : « Un cube plus un nombre plus des côtés est égal à des carrés (*** [3] ) ; » et certes rien de plus beau que sa solution de ce problème après que tous les géomètres s’étaient épuisés en vains efforts pour l’obtenir. Cependant le problème qu’il résolut était particulier, et l’espèce a différents cas et est sujette à des conditions ; enfin elle renferme des problèmes impossibles. ”

“ QUARTO, (Librairie.) un livre in-quarto est celui dont la feuille est pliée en quatre.
Quarto, s. m. (Comm.) que l’on appelle plus ordinairement quartant, petite futaille qui fait le quart d’un muid, d’une queue, ou de quelqu’autre semblable tonneau. Voyez Quartaut. ”

“ Voici une mienne proposition (que peut-être vous aurez aussi trouvée) que j'estime beaucoup, bien qu'elle ne découvre pas tout ce que je cherche, que sans doute j'achèverai d'apprendre de vous : En la progression double, si d'un nombre quarré, généralement parlant, vous ôtez 2 ou 8 ou 32 etc., les nombres premiers moindres de l'unité qu'un multiple du quaternaire, qui mesureront le reste, feront l'effet requis. ”

“ Et cette dernière méthode sert à trouver tous les primitifs dont les côtés des quarrés (2) sont comme d'un nombre impair à un autre nombre. Par exemple, on trouvera par icelle qu'il y a deux triangles où les côtés des quarrés sont comme de 65 à un autre nombre, et dont le moindre côté est différent d'un quarré des deux autres : savoir les deux qui sont faits de 65 et 14 et de 65 et 24 et les autres qui sont en même proportion. ”

“ Mais la quarte étant donnée absolument comme une consonnance , il nous semble bien ridicule que l'octave de cette quarte, ou la onzième, ne le soit plus. « C'est impossible, disaient les pythagoriciens; son nombre 8/3 n'est ni un multiple ni un superpartiel 5. » En effet, c'est un superpartient; 8/3 = 2 + 2/3; mais les élèves de nos cours d'harmonie seraient bien étonnés de voir fonder sur des raisons pareilles les règles qu'on leur fait apprendre.
Au reste, Ptolémée lui-même combat le raisonnement des pythagoriciens, et maintient l'octave de la quarte au nombre des consonnances ”

“ I. Quelque rapide que puisse être un procédé approximatif, ce procédé doit être jugé imparfait, s’il ne renferme pas en soi quelque moyen d’apprécier l’erreur à laquelle son usage peut exposer. Or, telle serait la méthode des quadratures, développées dans le précédent mémoire, si on ne lui faisait pas subir une légère modification. Cette modification consiste à substituer successivement aux trapèzes des rectangles inscrits et des rectangles circonscrits. ”

“ Si la somme ou la différence de deux nombres est divisible par , les quarrés de ces nombres seront congrus suivant le module . En effet, soit un de ces nombres, l’autre sera , dont le quarré est .
2o. Tout nombre impair qui est résidu quadratique de est congru à un quarré dont la racine est un nombre impair et . Soit en effet un quarré quelconque, auquel ce nombre soit congru, et , n’étant pas plus grand que la moitié du module (no 4) , on aura , et partant le nombre proposé sera . Mais il est évident que et seront impairs, et que parconséquent . ”

“ Posons avec les notations de l'auteur :
et désignons par F ( n) le nombre des classes de formes quadratiques de déterminant - n dont un au moi ns des coefficients extrêmes est impair, avec la convention d'écrire F (n) — au lieu de F (n) , lorsque n est un carré. Les théorèmes dont, je vais m'occuper consistent dans les relations suivantes:
(1) Ueber quadratische Formen von negativer Determinante, p. 223.
qui révèlent une liaison étroite entre la théorie arithmétique des formes quadratiques et la théorie analytique des transcendantes elliptiques. ”

“ Ce qui est aisé, et ayant trouvé le dit nombre, son quarré sera le demi-diamètre des ellipses.
Il le faut quarrer, afin que la perpendiculaire sur le foyer soit un nombre entier. J'en dis assez pour me faire entendre à M. Frenicle.
5. J'ajoute encore qu'une toute pareille règle à la précédente des hypoténuses sert à cette question : Étant donné un nombre, déterminer combien de fois il est la différence de deux nombres desquels le produit est un nombre quarré. ”

“ Un quadrilatère dont on connaît les quatre côtés, n'est pas complètement déterminé ; on peut le déformer, rapprocher deux sommets et éloigner les deux autres; les relations qui peuvent lier certains points fixes pris sur les côtés ou sur les diagonales, permettent parfois de transformer un mouvement donné en un autre mouvement aussi donné. Nous citerons les exemples les plus simples et les plus remarquables, en étudiant d'abord le parallélogramme dont le losange est un cas particulier ; puis le quadrilatère à diagonales rectangulaires, dont le losange est aussi un cas particulier ”

“ Relations qui ne sont autres que les formules (1) dans lesquelles l'arc a a été augmenté d'un quadrant.
3° Les formules (1) sont -vraies pour tous les arcs positifs quelle que soit leur grandeur.
En effet, d'après ce qu'on vient d'établir, elles, restent vraies lorsqu'on ajoute à l'arc a' un quadrant, c'est-à-dire à l'arc a deux quadrants il en .serait de même si l'on ajoutait à cet arc trois,. quatre quadrants. ”

“ Quadra, s. m. (Architect. rom.) ce mot latin signifie tantôt le filet, tantôt le petit quarré d’une moulure. Il est appellé quadra, parce que c’est un membre quarré qui sert comme de plinthe à la base du piédestal.
Quadra, (Littérat.) ce terme désignoit chez les Romains, 1°. une assiette de bois, dans laquelle le petit-peuple alloit recevoir son pain aux distributions publiques ; & cette assiette étoit la marque (tessera) , à laquelle on reconnoissoit ceux qui devoient avoir part à cette distribution. ”