Hypermétrie

“ Elle l'a conduit à la résolution, au moyen d'intégrales définies, des équations algébriques et transcendantes, et à la découverte admirable d'une méthode analogue à celle du théorème de Sturm, pour obtenir le nombre des racines imaginaires d'une équation algébrique dans un contour. Elle donne l'explication des valeurs multiples du logarithme, de l'arc sinus, des intégrales des fonctions rationnelles et algébriques; elle conduit à considérer la valeur d'une fonction en * un point comme pouvant dépendre du chemin suivi pour parvenir à ce point. ”

“ Il est facile de comprendre maintenant les avantages du système métrique : 1° les unités principales, destinées à la mesure des différentes espèces de grandeurs, dérivent toutes du mètre d'une manière simple, et le mètre lui-même est lié à la grandeur du globe terrestre; 2° l'échelle des unités qui se rapportent à une même espèce de grandeur est en harmonie avec notre système de numération ; de sorte qu'une grandeur quelconque s'exprime par un nombre décimal, et que les opérations à faire sur les quantités s'effectuent avec une grande rapidité. ”

“ D'où l'on conclut que, dans l'hyperbole équilatère, tout système de diamètres conjugués est un système de diamètres égaux, et que, dans une hyperbole qui n'est pas équilatère, il ne saurait exister aucun système de diamètres conjugués égaux. ”

“ L'illustre géomètre, qui est parvenu par une voie simple et rapide à démontrer votre théorème, l'énonce comme il suit : Soit ƒ1 (x) ,ƒ2 ( x) , une suiteindéfinie de fonctions rationnelles, telles que fv (&) ne devienne infinie que pour x = av et supposons que, les modules des termes de la suite indéfinie a1, a2, allant en croissant, on ait la condition limite ay =∞ pour v infini. On peut alors toujours former une fonction analytique uniforme i (x) , avec le seul point singulier ∞, n'ayant d'autres pôles que a1, a2, ••• et telle que la différence i (x) - /v (x) soit finie pour x = av. ”

“ Nous croyons d'après cela que, si l'on veut se mettre à l'abri de toute objection, il ne faut invoquer, dans la mécanique rationnelle et la physique mathématique, lorsqu'il s'agit des milieux vivants, que ce qui est indépendant des principes physiques de ces sciences, par exemple, la cinématique pure, les théories des coordonnées curvilignes, des fonctions inverses, et la géométrie à quatre variables, qui n'est, à proprement parler, que la théorie générale des phénomènes définis par la variation de fonctions des coordonnées et du temps. ”

“ Lorsque la révolution d'une hyperbole se fait autour de son axe principal, la surface produite est une hyperboloïde de révolution à deux nappes. La normale en un point de la section méridienne d'une hyperboloïde, faisant, comme on l'a dit, des angles égaux avec les rayons vecteurs passant par ce point, on reconnaîtra facilement que si un réflecteur a la forme de l'une des nappes de l'hyperboloïde de révolution à deux nappes, et qu'une lumière en occupe le foyer, il en réfléchira les rayons suivans des directions divergentes dans tous les sens. ”

“ Ne nous attendons pas à un système d’images ordonnées, ayant une figure géométrique ou mécanique clairement discernable avant de pénétrer le secret des calculs. L’élément concret est rigoureusement caché ; il est la récompense de l’étudiant qui ne le trouve en soi-même que par les interprétations fugitives des symboles algébriques. L’union des hétérogènes, dans l’essai pathétique d’une réalisation continue, s’effectue grâce aux opérateurs mathémathiques, pour ainsi dire sans qu’il reste la trace du langage ordinaire et même d’une conscience personnelle. ”

“ Les mathématiques ne considèrent que des réalités observables. La figure et le mouvement tombent sous les sens. Le concept de la mesure se ramène au concept de la coïncidence, considérée comme indépendante du lieu, du sens des figures et de la manière dont on les superpose, c’est-à-dire à des données explicables par l’expérience. La force, la masse, le poids, sont, en mécanique, des grandeurs sensibles, mesurables numériquement. La formule scientifique de la quantité d’énergie qui se conserve consiste dans des termes qui n’ont nul caractère métaphysique. ”

“ Mais c'est peut-être à l'égard des mathématiques que le fait intellectuel de l'invention semble plus mystérieux, car la série de ces transitions, où l'on reconnaîtrait la voie réellement suivie dans la recherche, le plus souvent n'apparaît pas d'une manière sensible dans la démonstration. Cette facilité d'isoler ainsi la preuve et d'ajouter à la concision du raisonnement, sans rien lui ôter de sa rigueur et de sa clarté, explique toute la difficulté de l'analyse des méthodes en mathématiques. ”

“ Là, en effet, pour une valeur constante de l’angle devient zéro ; d’où l’équation qu’on vient de donner pour la variation de montre qu’on doit avoir ou que le coefficient doit être indépendant de c’est-à-dire que doit être ou constant ou fonction seulement de Le plus simple sera d’adopter pour la longueur même de chaque ligne du premier système, et même chaque fois que toutes les lignes du premier système concourent en un point, de compter cette longueur de ce point, ou, s’il n’y a pas de commune intersection, d’une ligne quelconque du second système. ”

“ Il est moins commode de distinguer entre l'emmétropie et l'hypermètropie, car la seule différence est dans la distance à laquelle se fait l'image L'observateur, s'il ne relâche pas complètement son accommodation, peut voir nettement l'image produite par un oeil hypermétrope qui est à une distance finie, il verra peu distinctement l'image fournie par l'oeil emmétrope qui est à l'infini. Inversement, par le relâchement total de l'accommodation, il verra bien l'image à l'infini fournie par l'oeil emmétrope et il verra peu nettement l'image fournie par l'oeil hypermétrope. ”

“ Puiseux a le premier mis en complète lumière l'insuffisance et le défaut de ce point de vue où l'on se représentait, à l'image des polynomes et des fractions rationnelles, les irrationnelles algébriques et toutes les quantités en nombre infini qui ont leur origine dans le Calcul intégral. En suivant la voie de Cauchy, en considérant la succession des valeurs imaginaires, les chemins décrits simultanément par la variable et les racines d'une équation, l'éminent géomètre a fait connaître, dans ses caractères essentiels, leur nature analytique. ”

“ Pour l'HYPERBOLE, le lieu géométrique est une circonférence de cercle, concentrique avec la courbe, et ayant pour rayon un côté de l'angle droit d'un triangle rectangle construit sur la moitié du premier axe pour hypoténuse et l'autre demi-axe pour autre côté de l'angle droit.
Dans le cas de A = B, c'est-à-dire d'une hyperbole équilatère, le rayon devient nul, et l'équation x2 + y2 = o
qu'on obtient, ne pouvant être satisfaite que par * = 0, y= 0,
il s'ensuit que le lieu géométrique se réduit à un point qui est le centre même de la courbe. ”

“ Enfin les branches infinies des courbes du premier & du second genre & des genres plus élevés, sont ou du genre hyperbolique ou du genre parabolique : une branche hyperbolique est celle qui a une asymptote, c’est-à-dire qui s’approche continuellement de quelque ligne droite ; une branche parabolique est celle qui n’a point d’asymptote. Voyez Asymptote & Branche.
Ces branches se peuvent distinguer encore mieux par leurs tangentes. En effet, si le point de contact d’une tangente est supposé infiniment éloigné, la tangente de ce point se confond avec l’asymptote dans une branche hyperbolique ”

“ La longueur de étant déterminée, pour une ellipse ou une hyperbole, on voit que la longueur de dépendra du produit et que, pour obtenir l’une ou l’autre courbe, il suffit de faire ce produit constant, en lui assignant d’ailleurs, pour chaque cas, une valeur arbitraire. De là la raison pourquoi on peut établir, sur un même premier axe, une infinité d’ellipses ou d’hyperboles qui ne diffèrent que par leur second axe. ”

“ À la vérité, cette manière de concevoir la représentation des lignes par des équations dans la géométrie analytique à trois dimensions, engendre, par sa nature, un inconvénient nécessaire, celui d'une certaine confusion analytique, consistant en ce que la même ligne peut se trouver ainsi exprimée, avec un même système de coordonnées, par une infinité de couples d'équations différens, vu l'infinité de couples de surfaces qui peuvent la former, ce qui peut présenter quelques difficultés pour reconnaître cette ligne à travers tous les déguisemens algébriques dont elle est susceptible. ”

“ On n'y doit pas comprendre la détermination de ce qu'on appelle les foyers, la recherche des diamètres, etc., et plusieurs autres problèmes de ce genre, qui, bien que susceptibles d'être proposés et résolus pour des courbes quelconques, n'ont de véritable intérêt qu'à l'égard des sections coniques. Relativement aux diamètres, par exemple, c'est-à-dire aux lieux géométriques des milieux d'un système quelconque de cordes parallèles, il est aisé de former une méthode générale pour déduire de l'équation d'une courbe l'équation commune de tous ses diamètres. ”

“ Soient A ce point, AM et AN les portions indéfinies des deux lignes, dirigées dans le sens des abscisses positives; on voit facilement qu'on doit considérer tous les points renfermés dans l'angle MAN, dont les coordonnées sont positives et vérifient les égalités proposées.
Soit maintenant
m étant une constante que nous ferons varier afin d'en obtenir le maximum. Pour chaque valeur de m, on obtient une hyperbole dont l'équation peut s'écrire de la manière suivante, si l'on pose a = Jf'
rn- (x — ay) 2- (x — y) 2- x + ay = o. ”

“ Les travaux de Physique mathématique montrent avec éclat le talent de l'illustre analyste; le problème de l'équilibre de la chaleur dans un ellipsoïde homogène, le problème de Gauss sur la distribution à la surface de l'ellipsoïde d'une manière attractive ou répulsive, de manière qu'en chaque point le potentiel ait une valeur donnée, sont traités par une méthode qui est un chefd'œuvre de clarté et de simplicité. ”

“ La symétrie est la seule raison démonstrative de quelques faits initiaux de nos sciences exactes ; on l'emploie pour prouver qu'un point, soumis à l'action d'une force instantanée et unique, se meut indéfiniment et uniformément en ligne droite; pour s'assurer que la plus courte distance de deux points, sur une surface sphérique, est l'arc du grand cercle qui les unit, etc., etc.
Or, je crois que l'on peut, dans bien d'autres cas encore, l'employer avec un égal succès, et un traité de géométrie pourrait être conçu, en la prenant pour base et pour principe général. ”

“ Ces remarques sont bien simples ; elles sont familières au physicien au point d’être banales ; elles n’en ont pas moins, pour le développement mathématique d’une théorie physique, de graves conséquences.
Lorsque les données numériques d’un calcul sont fixées d’une manière précise, ce calcul, si long et si compliqué soit-il, fait également connaître l’exacte valeur numérique du résultat. Si l’on change la valeur des données, on change, en général, la valeur du résultat. ”

“ Solution. Soit le rayon du miroir, et soit la distance de sa surface au point lumineux. Considérons ce miroir, que nous supposons une très-petite portion de la sphère dont il fait partie, comme un miroir hyperbolique ; le paramètre de l’hyperbole génératrice sera et la distance de son sommet au foyer de l’hyperbole opposée sera en désignant donc par la distance du même sommet à l’autre foyer, qui est le foyer cherché, on aura, par les propriétés connues de la courbe,
d’où
et ensuite
éliminant entre ces deux équations, il viendra
formule qui résout le problème. ”

“ Il suppose ensuite, pour pouvoir mettre le problème en équation, que les molécules sont sphériques; il est encore obligé de faire diverses hypothèses, d'ordre analytique cette fois, sur des intégrales multiples indéterminées, auxquelles le cond uit son analyse. Quoi qu'il en soit de ces hypothèses et du manque de rigueur de certaines déductions, la forme des équations auxquelles arrive le grand géomètre n'a pas été modifiée par les travaux ultérieurs; il est seulement impossible de conserver à certaines constantes la signification qu'il croyait pouvoir leur donner. ”

“ On est ainsi amené à un nouveau mode de calcul, entièrement différent de l'algorithme élémentaire de la théorie des fractions continues, pour obtenir les polynomes entiers qui donnent l'approximation maximum de l'ex pression Xi elX + X2 e!x, lorsque leurs degrés diffèrent d'une unité. Nous allons montrer que le nouveau système d'opérations ne s'applique pas seulement aux exponentielles eIX, ec,lr, et qu'il s'étend de lui-même à deux séries quelconques ordonnées suivant les puissances d'une variable. ”

“ Le maximum de cette constante correspondra à une valeur telle qu'un changement infiniment petit donne une
courbe extérieure à l'angle MAN, et cette circonstance ne peut se produire qu'à l'égard d'une hyperbole tangente à l'on des côtés de l'angle ou passant par son sommet. Or la droite y = ( TL -- 1) x ne peut avoir pour point de contact que l'origine des coordonnées, et ce point ne se trouve pas sur AM. Quant à l'autre côté, l'équation en y que nous venons de former montre qu'il ne peut devenir tan- gent à l'hyperbole, puisqu'il est impossible que le discriminant de l'équation s'annule. ”

“ À la synthèse nouvelle, de plus en plus puissante, que représente la théorie électromagnétique des phénomènes physiques, correspondent un espace et un temps, un temps surtout, autres que ceux de la mécanique, et en faveur desquels nos moyens actuels d’investigation expérimentale viennent de se prononcer. Il est particulièrement remarquable que le perfectionnement croissant de nos méthodes de mesure, dont la précision a pu être poussée pour certaines au-delà du milliardième, nous oblige à continuer encore aujourd’hui l’adaptation aux faits des catégories les plus fondamentales de notre pensée. ”