Rubezahl

“ Il en est une surtout dont le style simple et noble et le sentiment, profond nous paraissent dignes de tout éloge. C’est une élégie inspirée par les récens malheurs de la Silésie, et qui se lie d’une façon très ingénieuse à une légende populaire fort poétique. Rübezahl est un esprit bienfaisant des montagnes, un gnome de mœurs fantasques, d’allures capricieuses, espiègle et lutin s’il en fut, généreux secourable aux voyageurs chéri surtout des enfans dont il égaie les promenades par des mystifications inoffensives, et qu’il ramène au logis lorsqu’ils s’égarent dans la forêt. ”

“ Multiplication. Le mètre de ruban coûte 4 francs; on demande la valeur de 48 mètres du même ruban.
Puisque le mètre de ce ruban coûte 4 francs, il est évident que 48 mètres coûteront 48 fois 4 francs, ou le produit de 4f par 48 mètres; donc 4f X 48m = 192 francs.
Division. Un voyageur fait 12 lieues par jour; combien lui faudra-t-il de temps pour faire 144 lieues?
On voit, par ce simple énoncé, qu'autant de fois que
12 sera contenu dans 1441 autant il faudra de jours au voyageur pour parvenir à sa destination, donc, 144 : 12 = 12 jours de marche, en supposant qu'il ne s'arrête pas. ”

“ Roberval emploie continuellement les expressions même d’infini et d’infiniment petit, dans le sens qu’on leur donne aujourd’hui, et il dit formellement qu’on doit négliger les quantités infiniment petites vis-à-vis des quantités finies, et celles-ci vis-à-vis des quantités infinies.
On savait donc dès ce temps-là que la méthode des indivisibles et toutes celles du même genre qu’on pourrait imaginer n’étaient autre chose que des formules d’abréviation, très utiles pour éluder les longueurs de la méthode d’exhaustion, sans nuire en aucune manière à l’exactitude de ses résultats. ”

“ Elle a pour effet de donner au ruban sorti de la table une plus grande régularité, tout en l'étirant toujours. Les inégalités des uns et des autres peuvent de la sorte facilement se compenser.
Quand on a réuni les rubans sur cette première machine, on les fait passer sur un second banc d'étirage, puis sur un troisième, et enfin sur un quatrième, quand on veut obtenir des fils d'un numéro très-élevé. Sur ces divers métiers, le ruban se régularise de plus en plus, quant au travail, il est identique : la seule différence qui existe est dans le nombre de doublages et dans le degré de l'étirage. ”

“ « On doit donc établir cette proportion générale : la cause est au moyen, ce que le moyen est à l’effet ; ce qu’on peut considérer comme une expression algébrique A : B :: B : C, dont on fait l’application à toute sorte de valeurs. »
J.-J. Rousseau avait déjà dit qu’il y a « proportion continue entre le souverain, le prince et le peuple. » Mais il avait ajouté qu’on ne doit pas conclure à une moyenne proportionnelle calculable par racine carrée. « En empruntant un moment des termes de géométrie, je n’ignore pas que la précision géométrique n’a pas lieu dans les quantités morales. » ”

“ Ainsi la mesure des grandeurs s'opérerait avec plus de facilité dans le système duodécimal; il y aurait beaucoup plus de chances d'arriver à une expression simple et exacte de la grandeur.
Les hommes ont adopté la numération décimale dès les premiers siècles, sans doute à cause des dix doigts de leurs mains; ils comptaient d'abord sur leurs doigts; arrivés au nombre dix, afin d'aller plus loin, ils ont été obligés de considérer la dizaine comme une unité nouvelle, pour recommencer à compter sur les doigts, de manière à former une nouvelle dizaine et prolonger ainsi la série des nombres. ”

“ Chaque ruban qui sort de l'un des étirages étant formé de plusieurs autres rubans, a acquis un nombre de doublages égal à celui des rubans qui l'ont produit, ce qui fait qu'avec 8 rubans derrière l'étirage, on n'en forme qu'un. ”

“ Voilà pourquoi il convient de distinguer dans Rubens deux observateurs de puissance très inégale, et comme art de valeur à peine comparable : celui qui fait servir la vie des autres aux besoins de ses conceptions, subordonne ses modèles et ne prend d’eux que ce qui lui convient, et celui, qui reste au-dessous de sa tâche parce qu’il faudrait et qu’il ne sait pas se subordonner à son modèle. ”

“ Supposons, en effet, qu'un des pots placés derrière l'un des étirages pèse 6 kilogs 300 grammes ; si le ruban sortant est la réunion de 10 rubans de même poids, il est devenu 10 fois plus fort, il faudra donc le multiplier par 10 ; mais si la machine étire 14, ce poids deviendra 14 fois plus faible, pour une longueur égale, il faudra donc le diviser par 14. On aura donc pour poids sortant :
Le poids du ruban sortant est encore égal au rapport du poids -total des rubans à l'étirage de la machine ; exemple :
Production. ”

“ Roberval avait imaginé de décomposer la vitesse du point qui décrit une courbe, en deux autres respectivement parallèles aux deux coordonnées ; Barrow avait considéré les courbes comme des polygones d’une infinité de côtés ; Wallis avait enseigné à calculer les séries. ”

“ Est brevetable comme constituant un produit nouveau, un ruban métrique subdivisé en centimètres et recouvert alternativement d'une couleur différente, centimètre par centimètre, ou décimètre par décimètre, ou demi-mètre Par demi-mètre, suivant le service auquel l'instrument est destiné, de manière à rendre plus apparente à l'oeil chacune des divisions et de façon, par suite, à en rendre la lecture plus rapide, le maniement plus prompt, plus sûr et plus rapide. ”

“ On peut y ajoûter l’ouvrage Italien de Lucas de Burgo, mis au jour en 1523 : cet auteur y a donné les différentes divisions de nombres de Nicomaque & leurs propriétés, conformément à la doctrine d’Euclide, avec le calcul des entiers & des fractions, des extractions de racines, &c.
L’Arithmétique pratique est l’art de nombrer ou de calculer, c’est-à-dire, l’art de trouver des nombres par le moyen de certains nombres donnés, dont la relation aux premiers est connue ; comme si l’on demandoit, par exemple, de déterminer le nombre égal aux deux nombres donnés, 6, 8. ”

“ Gt (£) est fermé. En effet, si A est un point limite de G| (E) , tout intervalle contenant A contient des points de GT (£) et Y a une oscillation au moins égale à £ dans cet intervalle.
Pour le nouvel énoncé de la condition d'intégrabilité, je vais faire appel à une notion qu'on retrouvera dans la suite : celle d'ensemble de mesure nulle. C'est un ensemble dont les points peuvent être enfermés dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d'intervalles dont la longueur totale est aussi petite que l'on veut.
Un point, un groupe intégrable sont des exemples d'ensembles de mesure nulle. ”

“ Supposons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse de l'ellipse, définie par cette propriété : que la somme des distances de chaque point de la courbe aux deux foyers est constante. Roberval remarque que l'accroissement d'un rayon vecteur est égal à la diminution de l'autre ; et il prend pour les mouvements du point, dans le sens des deux rayons, deux éléments égaux, l'un sur un rayon, et l'autre sur le prolongement de l'autre rayon. ”

“ Des rubis ont été produits artificiellement sur d’assez grandes dimensions, et sont doués des mêmes propriétés que celles de ces pierres fines que la nature avait engendrées, à l’aide de forces mystérieuses et du temps qui ne lui coûte rien.
Parmi les savants de notre époque, celui qui s’est occupé avec le plus de suite, de persévérance, de succès, de la partie spéculative des sciences mathématiques et physiques, est, sans contredit, l’illustre doyen de notre Académie, M. Biot, de la promotion de 1794. ”

“ Deux marchands échangent leurs marchandises ; l'un a du ruban qui vaut 2 francs le mètre, et en échange il le fait valoir 5 francs; l'autre a du calicot qui vaut 2f,50 le mètre, et en échange il le fait valoir 3f,80 : on demande quel est celui qui gagne le plus.
Solution. Par la nature du problême, on voit qu'il faut d'abord savoir ce que vaudront 2f,50, prix du calicot, relativement au ruban du premier marchand. Nous dirons donc : si 2 francs, argent comptant, valent 5 francs en échange, que vaudront 2f,5o, argent comptant? 2f 5f : : 2f,50 : x = 6f,25. ”

“ Coumot a rapproché l’extension de l’idée de multiplication aux fractions et l’extension des règles de calcul aux nombres négatifs. Ces deux généralisations permettent de rendre les relations entre les grandeurs, indépendantes de l’unité et du zéro-origine choisis.
Les nombres incommensurables donnent déjà de la généralité à l’arithmétique. Le vrai passage à l’algèbre se fait lorsqu’apparaissent les nombres négatifs, permettant de généraliser davantage les règles et les formules. ”

“ C'est le stage où de la numération quinaire primitive, donnée par les doigts de la main, on passa à la numération décimale, basée sur le calcul digital des deux mains, laquelle est demeurée, pour presque tous les peuples, le point de départ des computs plus complets et plus perfectionnés qui arrivent à ne plus connaître de limite à la multiplication infinie ni à la division infinie. ”

“ Élevons à une certaine puissance un terme de la progression géométrique; élevons, par exemple, le terme ait à la troisième puissance; il faut multiplier l'exposant par l'indice de la puissance ; la puissance a12 est aussi un terme de la progression géométrique. Multiplions par 5 le terme correspondant 4b de la progression arithmétique ; le produit 12b est aussi un terme de la progression arithmétique. On voit que l'exposant de la puissance a12 est égal au multiplicateur du produit 12b; donc
la puissance et le produit se correspondent dans les deux progressions. ”

“ Si donc on fait le produit de tous les termes des deux progressions considérés comme autant de facteurs, on aura autant de facteurs, égaux chacun au produit des extrêmes, qu'il y a de termes dans la progression ; le produit final sera donc la neuvième puissance du produit des extrêmes. Mais, puisqu'on a pris chaque terme deux fois comme facteur, ce produit est égal au carré du produit des termes de la progression proposée; on aura donc le produit demandé, en extrayan la racine carrée du résultat. ”

“ Alors, le ruban qui sortira de la machine aura toujours le même poids, même avec un nombre varié de doublages et c'est cè poids qui servira de base au calcul.
Ce système, avons-nous dit, est irrationnel et irrégulier ; en voici les raisons. Il présente d'abord un inconvénient, parce qu'il ne convient que pour un assortiment ; car, bien qu'on puisse
l'utiliser à la rigueur, lorsqu'on a un grand nombre de pots à sa disposition, il est tout à fait impossible de le faire lorsqu'on est arrivé à la fin de cet assortiment, le nombre des pots étant diminué de beaucoup. ”

“ Il est tout naturel que les doigts aient été les premiers auxiliaires de la mémoire dans l'enfance de l'art de calculer. La raison ne nous le dirait pas, que nous en trouverions encore la preuve dans l'habitude qu'ont eue tous les peuples, moins les anciens Chinois et une peuplade obscure dont parle Aristote, de distribuer leurs nombres en périodes composées chacune de dix unités. En principe, le calcul décimal est donc aussi vieux que le monde, et notre honneur se borne à l'avoir appliqué à tout ce que nous appelons poids, étendue, etc. ”

“ Au sortir de la tableàétalsr, on les pèse pour connaître le poids de ruban que chacun d'eux contient et pour les assortir à la machine suivante ; car, malgré l'exactitude du compteur, l'ouvrière qui n'est pas toujours habituée au retour périodique et régulier du coup de sonnette, peut rompre 1-o ruban ou trop tôt ou presque
toujours trop tard. On obtient le poids net du ruban en plaçant un pot vide dans le plateau opposé à celui où l'on a mis un pot plein. Quand on se sert de la bascule de Quintenz et que les pots ont poids égal, on déduit la tare de mémoire. ”

“ V est donc égal à une fraction dont T est le dénominateur, et dont le numérateur est un polynome dans lequel la puissance la plus élevée de t est moindre d’une unité que l’ordre de l’équation aux différences. Les coefficiens arbitraires des diverses puissances de t dans ce polynome, en y comprenant la puissance zéro, seront déterminés par autant de valeurs de la fonction primitive de l’indice, lorsqu’on y fait successivement x égal à zéro, à l’unité, à deux, etc. ”

“ On multiplie ensuite par 10 le reste Ri de cette seconde division, et on divise Ria par B, ce qui donne un quotient Q2, chiffre des centièmes, et un reste R2. On multiplie R2 par 10, et on divise le produit Ro par B, ce qui donne un quotient Q3, chiffre des millièmes, et un reste Ra. On multiplie R3 par 10, etc.
A.
Si l'un des restes Ri, Rî; R3.. est nul, est exactement réD ductible en décimales ; sinon l'opération se continue indéfiniment. Dans ce cas, les restes Ri, R2, R,. étant tous plus petits que B, après un nombre de divisions au plus égal à B— 1, on retombera sur un reste déjà obtenu ”

“ Le défaut de toutes ces inventions est de ne se prêter qu'à des calculs très-simples; dès qu'il s'agit de multiplier, il faut convertir l'opération en une suite d'additions: ainsi pour obtenir 7 fois 648, on est obligé d'ajouter d'abord 648 à lui-même, puis la somme à 648, celle-ci encore à 648, etc., jusqu'à ce que 648 ait été pris 7 fois. À quelle longueur ne faut-il pas se soumettre lorsque le multiplicateur a deux ou trois chiffres! Toutes ces machines sont donc aujourd'hui tombées dans l'oubli, et on ne les regarde que comme des conceptions plus ou moins ingénieuses. ”

“ Au paragraphe VII du Mémoire de Riemann on lit: « Si les coefficients an et bn tendent vers zéro pour n croissant à l'infini, les termes de la série Ω [celle qui, peut-être, représente ƒ (x) ] finiront par devenir infiniment petits, quel que soit x; sinon, ils ne pourront le devenir que dans des valeurs particulières de x. » C'est le théorème du n° 57. Quant au théorème de du Bois-Reymond, il est admis, mais moins nettement, à la fin du paragraphe III et dans le paragraphe X. ”