Paramétrite

“ De plus, comme tous les rayons qui partent du foyer d’une parabole, se réfléchissent parallèlement à l’axe, & que ce parallélisme s’étend à l’infini, il s’ensuit que si on plaçoit une seconde parabole à une distance infinie de la première, de manière seulement que leur axe fût le même, les rayons réfléchis par la première parallèlement à l’axe, iroient, après avoir frappé la seconde, s’assembler tous à son foyer ”

“ Dès qu’il s’agit de mesurer une surface, c’est au calcul intégral à le faire. La base d’un parallélogramme multipliée par l’élément infiniment petit de sa hauteur, fait un parallélogramme infiniment petit, qui est l’élément du parallélogramme fini, & qui est répété une infinité de fois, c’est à-dire, autant de fois qu’il y a de points dans la hauteur du parallélogramme fini. ”

“ De l’explication mécanique des phénomènes physiques. — Dans tout phénomène physique, il y a un certain nombre de paramètres que l’expérience atteint directement et qu’elle permet de mesurer. Je les appellerai les paramètres q.
L’observation nous fait connaître ensuite les lois des variations de ces paramètres et ces lois peuvent généralement se mettre sous la forme d’équations différentielles qui lient entre eux les paramètres q et le temps. ”

“ Que l’on commence par nous résoudre le problème du parallélogramme des forces, si l’on veut nous faire croire à la persistance de la chose. Ou bien une force, qui agit avec l’intensité x, dans la direction ab, est-elle aussi incontestablement la même chose, lorsque son action s’est fondue avec une autre force en une résultante de l’intensité y et de la direction ad ? ”

“ Nous croyons d'après cela que, si l'on veut se mettre à l'abri de toute objection, il ne faut invoquer, dans la mécanique rationnelle et la physique mathématique, lorsqu'il s'agit des milieux vivants, que ce qui est indépendant des principes physiques de ces sciences, par exemple, la cinématique pure, les théories des coordonnées curvilignes, des fonctions inverses, et la géométrie à quatre variables, qui n'est, à proprement parler, que la théorie générale des phénomènes définis par la variation de fonctions des coordonnées et du temps. ”

“ Il en irait de même s’il y avait dans la proposée un plus grand nombre de paramètres variables, et l’on voit qu’en général l’équation
exprime un corps solide terminé par une surface susceptible de modes de générations, si désigne le nombre des paramètres.
§. II. La variation d’un seul paramètre donne, comme nous l’avons dit, naissance à un système de surfaces dont l’ensemble occupe dans l’espace un certain lieu, circonscrit par une surface particulière ; c’est la détermination de cette surface, enveloppe ou limite de toutes les autres, qui va présentement nous occuper. ”

“ Toutefois on verra bientôt que ce parallélisme n'est pas mathématiquement exact, mais l'erreur que l'on commet en regardant comme parallèles les actions de la pesanteur sur les particules d'une masse aussi petite que l'est ordinairement celle qui tend un fil à plomb, ne modifie en aucune façon l'énoncé cidessus.
2. DEUX VERTICALES SONT TOUJOURS DANS UN MÊME PLAN. — On peut s'assurer de la vérité de cette assertion par divers moyens : le plus simple consiste à projeter, par la vision, l'une de ces verticales sur l'autre, après les avoir rendues apparentes
sous la forme de fils à plomb. ”

“ Seulement, pour plus de facilité dans l’exposition, au lieu d’un paramètre arbitraire j’en introduirai deux que j’appellerai et
Nous supposerons donc que les différents coefficients de sont développables suivant les puissances de deux paramètres et et que pour et se réduisent à et à étant un nombre réel commensurable.
Je supposerai que et peuvent se développer suivant les puissances croissantes de sous la forme
où sont des constantes que je laisse provisoirement indéterminées, mais que je me réserve de déterminer dans la suite du calcul. ”

“ Les équations fondamentales de la mécanique sont évidemment, d’après l’objet même de la mécanique, les équations du mouvement d’un point matériel ; la matière y est représentée par la masse et la force ; le mouvement (c’est-à-dire l’espace et le temps) par l’accélération.
Elles considéreront un point matériel comme complètement défini quand elles nous auront fixé : sur sa nature, par l’intervention d’un coefficient propre au point considéré et appelé masse ; sur sa position actuelle, par l’intervention de coordonnées d’espace et de temps rapportées à un système de référence. ”

“ Parallélisme approché de deux normales à une surface qui diffère peu de la forme d’un plan.
Pour apprécier la figure de la Terre et, s’il y a lieu, son uniformité, il faut chercher un moyen de déterminer les inclinaisons relatives de deux normales passant par des points plus ou moins éloignés. Les normales, comme nous avons vu, sont les directions du fil à plomb ; ainsi le problème se trouve ramené à la détermination de l’angle que forme la verticale d’un lieu avec la verticale d’un autre lieu. ”

“ Deux couples situés comme on voudra dans deux plans qui se coupent sous un angle quelconque se composent toujours en un seul.
Et si l'on représente les moments de ces couples par les longueurs respectives de deux droites tirées sous un angle égal à celui des deux plans, et qu'on achève le parallélogramme, le moment du couple résultant sera représenté par la diagonale de ce parallélogramme, et le plan de ce couple partagera l'angle que font entre eux les plans des couples composants, comme la diagonale du parallélogramme partage l'angle que font les deux côtés adjacents. ”

“ Donc si le foyer de la première parabole étoit occupé par un corps bien chaud, comme par un charbon enflammé, toute sa chaleur se feroit sentir au foyer de la seconde parabole, quoiqu’infiniment distant. Voilà le pur géométrique ; mais il est certain que le physique doit en rabattre beaucoup, & même infiniment, & que des rayons ne s’étendroient pas à l’infini dans l’air, ni même dans aucun milieu, sans perdre absolument leur force & lëur chaleur. ”

“ De leur côté, les équations de la mécanique se conservent aussi, interprètent les phénomènes de relativité pour les phénomènes mécaniques. Mais la transformation qui permet de passer d’un système d’observateurs à un autre, quand on conserve les équations de la mécanique, correspond à l’ancienne cinématique. ”

“ Aussi l'auteur prend« il les parallèles pour point de départ de cette partie de « sa doctrine; puis, s'avançant pas à pas, il s'engage alors « dans la théorie des parallélogrammes, faisant usage « pour cela d'un théorème intermédiaire, qui, d'une part « semble considérer une circonstance propre aux paral« lèles, et d'autre part présente la génération première « des parallélogrammes. C'est celui-ci" : « Les droites qui joignent les extrémités (prises d'un même « côté) des droites égales et parallèles, sont elles-mêmes égales « et parallèles. » ”

“ Elle l'a conduit à la résolution, au moyen d'intégrales définies, des équations algébriques et transcendantes, et à la découverte admirable d'une méthode analogue à celle du théorème de Sturm, pour obtenir le nombre des racines imaginaires d'une équation algébrique dans un contour. Elle donne l'explication des valeurs multiples du logarithme, de l'arc sinus, des intégrales des fonctions rationnelles et algébriques; elle conduit à considérer la valeur d'une fonction en * un point comme pouvant dépendre du chemin suivi pour parvenir à ce point. ”

“ J'ajoute qu'il en est encore de même si l'on a
a = p + iq,
p étant quelconque, et q compris entre — K' et + K', c'est-à-dire tant que le paramètre est représenté par un point compris entre deux parallèles à l'axe des abscisses, menées à la distance K' audessus et au-dessous de cet axe. Dans cet intervalle, en effet, la fonction II (a) est finie et continue, comme le montre la formule
Plaçons-nous maintenant en un point quelconque du plan en changeant a en a + 2 mi K', où m désigne un entier arbitraire. La fonction ll (a) a pour période aR et 2 i K'; le nombre p. ”

“ La verticale MEF est la ligne de symétrie du triangle et du trapèze.
Le parallélogramme, fig. 16, est la figure dont les quatre côtés sont parallèles deux h deux.
Applications. Le parallélogramme est d'un usage continuel dans les arts; on en fait un fréquent emploi dans la construction des machines ; il sert à produire ce qu'on appelle le mouvement parallèle, etc.
D'après les propriétés des parallèles, que nous avons démontrées dans la deuxième leçon , les angles opposés d'un parallélogramme, A et C d'une part, D et B de l'autre, sont égaux entre eux : deux sont aigus et deux sont obtus. ”

“ On observera que OP, représente la première force, et que P1 p, qui est égaie à O Pa, comme côtés opposés d'un même parallélogramme, représente la seconde force en grandeur, et qu'elle est parallèle à sa direction ; que de même les lignes p2 p3, p, p4, p4, p5, représentent les autres forces en grandeurs et sont parallèles à leurs directions. Or ces lignes forment les côtés d'un polygone OP, p 2 p5 p, p 5 que complète la résultante Ops. ”

“ Ce Lemme qui, comme l’on voit, n’admet qu’une solution, peut être résolu sans l’intervention du compas. Il n’exige, outre la règle, qu’un instrument à tracer des parallèles, tel qu’une équerre à angles quelconques.
LEMME 3. Étant donnés trois points du périmètre d’une parabole, et une tangente à cette courbe par l’un d’eux ; déterminer la direction commune des diamètres de la parabole ?
Solution. Soient (fig. 11) les points donnés, et soit la tangente donnée, passant par le premier ; et proposons-nous de mener, par le point de contact un diamètre de la courbe [4] . ”

“ Les travaux de Physique mathématique montrent avec éclat le talent de l'illustre analyste; le problème de l'équilibre de la chaleur dans un ellipsoïde homogène, le problème de Gauss sur la distribution à la surface de l'ellipsoïde d'une manière attractive ou répulsive, de manière qu'en chaque point le potentiel ait une valeur donnée, sont traités par une méthode qui est un chefd'œuvre de clarté et de simplicité. ”

“ Ce souci de dégager ses démonstrations de toute considération mécanique apparaît déjà dans son Traité sur la quadrature de la parabole, où il ne se satisfait que d’une démonstration strictement mathématique. ”

“ Si on nomme ce rapport, et la distance DE du point où la génératrice du filet coupe l’axe de la vis au plan , sera l’expression de la sous-tangente .
Le paraboloïde tangent au filet de la vis, suivant la droite , étant coupé par le plan , suivant une parabole , un autre plan parallèle à , et placé à même distance du point , coupe le paraboloïde, suivant la même parabole ; faisant mouvoir cette parabole en même temps que la génératrice du filet de la vis, on construira facilement la courbe de séparation d’ombre et de lumière. ”

“ On peut donc poser comme seconde loi d'observation fondamentale, à défaut de laquelle l'hypothèse de la périodicité serait inadmissible, la loi suivante ou loi de rationalité des paramètres symétriques : Deux arêtes d'un cristal, symétriques par rapport à un axe de symétrie, et que par suite rien ne distingue entre elles, ont des paramètres en rapport rationnel (et que l'on peut donc prendre égaux ; ce qui permet de concevoir le paramètre comme un coefficient physique propre à chaque arête, et par suite de lui attribuer une réalité physique) . ”

“ Pour trouver l’aire d’un rhombe, ou d’un rhomboïde. (Voyez Rhomboïde) sur la ligne CD, prise pour base, laissez tomber la perpendiculaire Ae, qui sera la hauteur du parallélogramme ; multipliez la base par la hauteur, le produit sera l’aire cherchée ; ainsi, supposons que CD soit de 456 piés, & Ae de 234, l’aire sera de 102704 piés quarrés.
En effet, il est démontré qu’un parallélogramme obliquangle est égal en surface à un parallélogramme rectangle de même base CD & de même hauteur AE. fig. 25. Voyez Parallélogramme. ”

“ Quels que soient le mouvement du système et les variations qu’il éprouve par l’action mutuelle de ses parties, la somme des produits de chaque corps par l’aire que sa projection trace autour du centre commun de gravité, sur un plan qui, passant par ce point, reste toujours parallèle à lui-même, est constante. Le plan sur lequel cette somme est un maximum conserve une situation parallèle pendant le mouvement du système ”

“ Si, à ces deux principes, qui sont vraiment les piliers, la quintessence d’expériences sur lesquelles la physique est construite, nous associons la cinématique ancienne, celle du temps absolu, nous obtenons la mécanique rationnelle ancienne. On en déduit que l’énergie cinétique est proportionnelle au carré de la vitesse, que la quantité de mouvement se conserve sous la forme habituelle, que la masse se conserve, qu’elle doit avoir le caractère de masse absolue pour être adéquate à l’ancienne cinématique. ”

“ Depuis l'ordre excentrique ou concentrique avec sa symétrie parfaite, dans le domaine dimensionnel de l'espace, jusqu'au décroissement symétrique de l'énergie dans l'entendement du passé et de l'avenir par rapport au présent, dans le domaine dimensionnel du temps, la symétrie se rencontre partout, dans l'ordre subjectif aussi bien qu'objectif, dans les formes du raisonnement comme dans celles de l'organisme tout entier. L'homme et la vermine, la feuille et le cristal en font également foi ”

“ Dans une ellipse ou une hyperbole, dont est l’excentricité, le demi-paramètre et par suite, la distance périhélie, soit l’anomalie vraie correspondant à un intervalle écoulé depuis le passage au périhélie ; soit aussi, pour ce même intervalle et dans une parabole dont le demi-paramètre ou la distance périhélie , l’anomalie vraie correspondante ; la masse étant négligée de part et d’autre ou supposée égale. ”