Planeur

“ Dans une surface générale, les plans polaires de deux points sont toujours distincts; dans un cône, tous les points situés sur une même droite passant par le sommet auront même plan polaire ; dans le système de deux plans, tous les points situés dans un même plan passant par la ligne d'intersection des plans auront même plan polaire; enfin, dans le système de deux plans confondus, tous les points de l'espace ont même plan polaire. ”

“ En effet, qu'une figure plane soit donnée à transformer; on imprimera à son plan un mouvement infiniment petit dans l'espace; les plans normaux aux trajectoires des différents points de la figure envelopperont une surface conique (qui aura son sommet en un point du plan de la figure) 1, et un plan transversal, mené arbitrairement dans l'espace, coupera cette surface conique suivant une figure qui sera une transformée de la proposée. ”

“ Et en fait de planisphères, ou d’astrolabes, le plan de projection est placé au-delà de l’objet, qui est toujours la sphère, & non pas entre l’œil & l’objet, comme le plan de la projection d’un tableau. ”

“ L’esprit d’aventure, engourdi après la rencontre des grands planeurs, se réveilla dans le cœur du jeune homme ; il accéléra la vitesse de sa machine et devança Manô.
Des vols d’oiseaux tournoyaient sur la zone rouge ; plusieurs s’avancèrent vers l’escadrille. À cinquante kilomètres de l’oasis, ils affluèrent ; leurs mélopées confirmaient le désastre et prédisaient des secousses imminentes. Targ, le cœur serré, écoutait et regardait, sans pouvoir articuler une parole. ”

“ Un point est déterminé dans l'espace, quand on connaît sa projection orthogonale sur le géométral, sa perspective, la base du tableau et le centre des projections ou point de vue. Mais on peut aussi définir la position d'un point dans l'espace par sa perspective, sa cote de hauteur au-dessus du géométral ”

“ Mais comme aucune partie d’une surface sphérique n’est rigoureusement développable sur un plan, la construction des cartes géographiques qui sont destinées à représenter sur une surface plane des parties plus ou moins étendues de la surface de la Terre, offre des difficultés qui ont préoccupé de tout temps les astronomes. ”

“ Le plan vertical, passant par la mire terrestre, dont nous avons fixé la position, le plan vertical qui coupe l’horizon suivant une droite partageant en deux parties égales l’angle formé par les deux lignes aboutissant aux points de lever et de coucher de chaque étoile ; le plan vertical contenant les points les plus élevés des courbes décrites par les étoiles australes, les points les plus hauts et les plus bas des courbes décrites par les étoiles boréales, s’appelle le plan méridien. ”

“ Nous avons démontré que le plan de l'horizon dans lequel se trouvait l'œil du spectateur, celui du tableau où est tracée la ligne d'horizon ou de section de ce plan par le premier, les points de vue c et de distance d et e étant confondus avec le plan du terrain sur lequel est tracée la projection horizontale a-b, de la fuyante ; les lignes tracées dans ces plans ainsi réunis avaient entre elles, et par rapport aux points où elles étaient dirigées, les mêmes rapports que ceux qu'elles avaient avant le mouvement de. ces plans, et lorsqu'ils occupaient dans l'espace leurs positions respectives. ”

“ Observez que les perpendiculaires qui vont des points d'un corps, aux points correspondants de son plan, donnent les distances des points de ce corps au plan horizontal sur lequel il est dessiné.
En géométrie, le plan d'un corps en est la projection horizontale; les perpendiculaires qui le déterminent sont appelées lignes projetantes; mais on peut, sans inconvénient, se dispenser d'employer ces noms.
556. L'élévation d'un corps n'est autre chose que son plan fait sur un plan vertical. ”

“ Nous savons qu'une planète quelconque se meut autour du Soleil, en décrivant une ligne continue dont tous les points se trouvent placés dans un même plan idéal contenant en même temps le centre du Soleil. Chaque orbite est ce qu'on nomme en géométrie une courbe plane. ”

“ Projetons maintenant les points sur un plan perpendiculaire au rayon vecteur de la Terre à sa position moyenne, et supposons que ce plan occupe, parallèlement à lui-même, trois positions, de manière à passer successivement par les points et
Soit (fig. 9) , le lieu du Soleil, les trois points de la figure (8) , leurs projections orthogonales sur le plan perpendiculaire au rayon et passant par le point de l’espace ; ce point étant à lui-même sa projection est représenté en sur la figure (9) ”

“ La situation d’un plan quelconque peut être représentée par le grand cercle de la sphère, dont le plan lui est parallèle.
3. L’angle entre deux plans est égal à l’angle sphérique compris entre les deux grands cercles qui les représentent, et, par conséquent, a pour mesure l’arc intercepté entre les pôles de ces grands cercles. Par suite, l’inclinaison d’une droite sur un plan a pour mesure l’arc mené normalement du point qui répond à la direction de la droite, au grand cercle qui représente la situation du plan. ”

“ Dans le cas linéaire, les géomètres ont supposé que le mouvement s’exécute tout entier dans une direction perpendiculaire au plan de la lame en repos : j’admis la même chose par rapport aux surfaces planes. Guidée ensuite par l’analogie seule, je crus pouvoir supposer que le mouvement des divers points d’une surface courbe s’exécute tout entier dans des directions perpendiculaires aux plans tangents à chacun des mêmes points, considérés sur la surface en repos. ”

“ Une surface rectiligne est celle qui est comprise entre des lignes droites.
La curvi-ligne est comprise entre des lignes courbes. Voyez Courbe.
Une surface plane est la même chose qu’un plan. Voyez Plan.
L’aire d’une surface est l’étendue ou le contenu de cette surface. Voyez Aire & Mesure ; & sa quadrature consiste à déterminer cette aire. Voyez Quadrature.
Pour la mesure des surfaces des différentes especes de corps, comme les spheres, les cubes, les paralélipipedes, les pyramides, les prismes, les cônes, &c. Voyez Sphere, Cube, &c. ”

“ II. À quelle surface est constamment tangent un plan mobile qui coupe une surface du second ordre de manière que l’aire de la section plane soit constante, quelle surface décrit dans l’espace le sommet d’une surface conique circonscrite qui touche la surface courbe suivant le contour de cette section ? ”

“ Quand on fait des cartes géométriques de provinces, &c. on fixe les stations sur plusieurs éminences du pays, & de-là on prend les angles aux différentes villes, villages, &c.
Dans l’arpentage, on mesure la distance qu’il y a d’une station à une autre ; & on prend l’angle que l’endroit où on se trouve forme avec la station suivante. Voyez Arpentage. (E)
Station, en Astronomie, est la position ou l’apparence d’une planete au même point du zodiaque plusieurs jours de suite. Voyez Planete. ”

“ Les droites qui passent par le centre d'une sphère et se terminent aux points où elles rencontrent sa surface s'appellent diamètres.— Tous les diamètres sont égaux, car chacun d'eux est le double d'un rayon.
2. Un plan est tangent à une sphère, lorsqu'il n'a qu'un point commun avec elle. Ce point est appelé point de contact.
3. Deux sphères sont tangentes en un point, lorsqu'elles ont le même plan tangent en ce point.
THÉORÈME I.
Toute section faite dans une sphère par un plan est un cercle. ”

“ Déterminer l'intersection de deux plans donnés dans les cas particuliers suivants (Faire usage d'un plan de profil auxiliaire) : — Quand les traces horizontales ou les traces verticales des deux plans sont parallèles.
66. — Quand les traces de chaque plan sont en ligne droite.
67. — Quand les traces de noms contraires des deux plans coïncident.
68. — Quand l'un des plans passe par la ligne de terre et un point, et que l'autre la coupe.
69. — Quand l'un des plans est parallèle à la ligne de terre, et que l'autre la coupe. 70. ”

“ Solution. Déterminez, pour l’une quelconque des sphères données, ses plans polaires de similitude avec les trois autres ; ayant soin de prendre le plan polaire externe, pour les sphères qui doivent être touchées de la même manière, et l’interne pour celles qui doivent être touchées d’une manière différente par la sphère cherchée. Ces plans polaires se couperont en un certain point ; et les plans polaires homologues, relatifs aux trois autres sphère. ”

“ Les surfaces des sphères étant comme les carrés des rayons ou des diamètres et les volumes comme les cubes de ces mêmes rayons ou diamètres, il s’ensuit que la surface de la Terre est 16 fois plus grande que celle de notre satellite. ”

“ Pour faciliter la solution d'un grand nombre de questions de Géométrie descriptive, on peut faire un changement de plan vertical ou de plan horizontal de projections. Le nouveau plan auxiliaire employé est perpendiculaire au plan conservé; la nouvelle ligne de terre fait avec l'ancienne un angle égal à celui que fait le nouveau plan avec l'ancien de même nom. ”

“ Cherchons maintenant une formule pour exprimer la mesure de la courbure pour un point quelconque de la surface courbe. En dénotant par l’aire d’un élément de cette surface, sera l’aire de la projection de cet élément sur le plan des coordonnées et, par suite, si est l’aire de l’élément correspondant sur la surface sphérique, sera l’aire de la projection sur le même plan : le signe positif ou négatif de indiquera que la situation de la projection est semblable ou opposée à la situation de l’élément projeté. ”

“ Le planisphère, ou mappemonde de Mercator, développe la surface terrestre sous forme d'un rectangle, les cercles étant remplacés par des lignes droites.
Hémisphère oriental.
Projections. La surface d'une sphère, n'étant pas développable, ne peut se projeter ou se représenter exactement sur une carte dont la surface est plane: toutes les projections ont donc leurs défauts comme leurs avantages.
— 1° La projection droite, orthographique ou sphéroïdale, rend sensible la rondeur de la terre, mais rapetisse trop les parties fuyantes des bords. ”

“ THÉORÈME I. Si l'on conçoit dans l'espace un plan mobile, déterminé dans chacune de ses positions par une équation rapportée à trois axes coor- donnés quelconques des x, y et z; et que les paramètres de cette équation contiennent, au premier degré, les coordonnées d'un point que nous appellerons directeur ; 1° Quand ce point parcourra un plan, le plan mobile tournera autour d'un point fixe; 2° Quand le point parcourra une droite, le plan mobile tournera autour d'une seconde droite ; 3° Quand le point parcourra une surface courbe, le plan mobile roulera sur une autre surface courbe ”

“ C'est dans cet ouvrage que se trouve démontrée pour la première fois, dans toute sa généralité, cette belle propriété de la projection stéréographique qui est le fondement de la construction du Planisphère, à savoir que : tout cercle se projette suivant un cercle. ”

“ Vous avez appris assez d’astronomie pour être sûr qu’il n’y a ni premier ni troisième ciel, ni région de feu auprès de la lune, ni firmament auquel les étoiles soient attachées, etc., mais un nombre innombrable de globes disposés dans l’espace par la main de l’éternel géomètre. ”

“ Ainsi, c'est par une propriété bien simple de la révolution des plans et des points autour d'un axe fixe, qu'on reconnaît l'identité des aspects du ciel : soit que, la terre restant fixe, la voûte céleste tourne autour de l'axe de la terre; soit qu'au contraire, la voûte céleste restant immobile , la terre tourne sur elle-même. Lorsque vous connaîtrez les lois du mouvement circulaire, vous verrez ce qui décide l'opinion des géomètres en faveur de ce dernier système.
La sphère n'est pas la seule surface de révolution qu'on puisse engendrer, en faisant tourner un cercle autour d'une droite. ”

“ Pour bien vous rendre compte de la représentation de la Terre sur une carte plane, figurez-vous qu'on a coupe le globe terrestre en deux parties, comme vous coupez une orange, de haut en bas, et qu'on a placé les deux demi - boules l'une à côté de l'autre en les aplatissant. ”

“ Si l'on a un plan P dans l'espace et deux droites A et B situées sur ce plan, et si par tes droites A et B on fait passer des plans A' et B' assujettis à passer l'un et l'autre par un même point s de l'espace, et si l'on coupe le système par un plan quelconque Q, on pourra dire que le plan Q est le transformé du plan P, car les deux droites At et Bt suivant lesquelles seront coupés par le plan Q les plans A' et B' seront les transformées coniques des droites A et B, les droites de transformation divergeant du point s. ”

“ Plan coupant dans un solide. — A ce sujet, nous dirons pour fixer les idées plus exactement sur le sens du mot plan, que cette expression, en géométrie, veut dire une superficie plate terminée par une ou plusieurs lignes; ainsi l'étendue renfermée parla circonférence d'un cercle est un plan aussi bien que toute portion de mon papier figurant l'espace compris sous trois, quatre ou un nombre quelconque de lignes droites ou courbes. On appelle également plan une superficie mathématique, qu'on imagine couper les solides de la géométrie, comme le ferait une lame de couteau. ”

“ Deux points étant donnés, déterminer l’équation la plus générale des courbes planes qui, passant par ces deux points, sont telles que l’espace mixtiligne compris entre l’arc qui s’y termine et sa corde, soit équivalent à une surface donnée ?
Solution. Soit et ces deux points, et rapportons-les à deux axes rectangulaires ou obliques ; soit alors (a, b) les coordonnées du premier, et celles du second. ”

“ Tous les problèmes de géométrie descriptive peuvent se résoudre à l'aide des changements de plans de projection et des mouvements de rotation autour d'un axe perpendiculaire à l'un des plans de projection, ce qui n'est au fond que le même principe. ”

“ Par exemple, les astronomes de tel siècle accepteront, pour représenter la position du centre du soleil à un instant donné, toutes les valeurs de la longitude qui ne différeront pas l’une de l’autre de plus de 1’, toutes les valeurs de la latitude qui se resserreront dans un semblable intervalle. ”