Calque

“ Et pourtant cette rencontre du calcul et de l’expérience produit toujours, même chez les plus endormis, une attente et un ravissement. C’est par là qu’est sensible la puissance des mathématiques, même dans les choses les plus simples ; et c’est un moyen d’intéresser les passions au calcul. ”

“ Un calcul n’est pas seulement un raisonnement, c’est un raisonnement sur des idées de quantité, et susceptible, par cette circonstance, d’être fait avec des signes particuliers ; en un mot, c’est un raisonnement ayant des caractères qui lui sont propres... Le raisonnement est le genre, le calcul n’est que l’espèce. C’est pour cela que vous pouvez transformer tout calcul en un raisonnement, mais que vous ne pouvez transformer tout raisonnement en un calcul. ”

“ Le but définitif de nos recherches dans la mathématique concrète étant la découverte des équations, qui expriment les lois mathématiques des phénomènes considérés, et ces équations constituant le véritable point de départ du calcul, dont l'objet est d'en déduire la détermination des quantités les unes par les autres, je crois indispensable, avant d'aller plus loin, d'approfondir, plus qu'on n'a coutume de le faire, cette idée fondamentale d'équation, sujet continuel, soit comme terme, soit comme origine, de tous les travaux mathématiques. ”

“ Pour extraire la racine carrée d'une fraction dont aucun terme n'est un carré parfait, multipliez les deux termes par le dénominateur, puis extrayez la racine carrée de la fraction qui en résulte, d'après la règle donnée pour le second cas, et vous aurez la racine carrée de la fraction proposée à moins d'une partie de l'unité de l'espèce marquée par le dénominateur ; ou, ce qui revient au même, multipliez le numérateur par le dénominateur, extrayez la racine carrée du produit à moins d'une unité, et donnez à cette racine, le dénominateur de la fraction proposée. ”

“ Les chiffres de notre tableau expriment le résultat obtenu par le procédé de calcul le plus simple : toute erreur de règle compte pour un point, toute faute d’usage pour un point aussi, et on ne marque jamais plus de deux points pour un seul mot. ”

“ Terme d’Algèbre en matière d’équation. C’est ce que Viéte appelle Homogeneum comparationis, & qui fait toujours un côté ou une partie entière de l’équation, & est toujours une quantité connue. C’est encore le rectangle, ou le solide dont on cherche la racine inconnue. Ainsi dans cette équation a a + 16 a = 36. Le nombre absolu est 36, lequel est égal au produit des deux racines ou valeurs de l’a ; c’est-à-dire, à a multiplié par lui-même, plus a pris seize fois. Equation absolue, en termes d’Astronomie, est la somme de deux équations, de l’excentrique, & de l’optique. Harris. Voyez Équation. ”

“ Toute science mathématique est fondée sur une idée simple, unique : l’arithmétique sur l’idée du nombre, la géométrie sur celle de l’étendue, la mécanique sur la notion de la force, le calcul infinitésimal sur celle de la variation. ”

“ On met à l'ordinaire chaque problème en équation, en regardant toutes les quantités sur lesquelles on établit le raisonnement, comme des quantités absolues. Ces équations primitives formées, on les regarde comme immédiatement applicables à tous les états dans lesquels le système peut se trouver successivement, en se réservant de faire dans le résultat même du calcul les modifications nécessaires pour chaque cas particulier. ”

“ NOTIONS PRÉLIMINAIRES
1. — On compte des objets, on mesure des grandeurs (longueurs, capacités, poids...) : le résultat de chacune de ces opérations est un nombre.
2. — L'arithmétique est la science des nombres.
3. — L'unité est un des objets que l'on compte ou la grandeur qui sert à mesurer des grandeurs de même espèce.
Ex. : Si je compte trente élèves, l'unité est un élève ; si je mesure une longueur de huit mètres, l'unité est le mètre. ”

“ Le calcul des valeurs, ou l'arithmétique, paraît, au premier abord, devoir présenter un champ aussi vaste que celui de l'algèbre, puisqu'il semble devoir donner lieu à autant de questions distinctes qu'on peut concevoir de formules algébriques différentes à évaluer. Mais une réflexion fort simple suffit pour montrer que le domaine du calcul des valeurs est, par sa nature, infiniment moins étendu que celui du calcul des fonctions. ”

“ Entre la substance donnée et la substance résultant du changement qualitatif, il y a le rapport de la puissance à l’acte.
X. Mathématiques. — Les mathématiques considèrent les rapports de grandeur, la quantité et le continu, en faisant abstraction des autres qualités physiques. Elles traitent ainsi des choses qui sont immobiles sans exister à part, essences intermédiaires entre le monde et Dieu. Le mathématicien isole par abstraction, dans les choses sensibles, la forme de la matière. La mathématique est pure ou appliquée. La géométrie et l’arithmétique constituent la mathématique pure. ”

“ En arithmétique, évitez, dès le début, les définitions et les règles générales qui simplifient les calculs. C’est surtout en mathématiques qu’on s’aperçoit combien il est nuisible d’apprendre des règles générales. Plus rapide sera la voie par laquelle vous apprendrez à l’élève à calculer, moins il saura. ”

“ Le calcul infinitésimal et différentiel permet d'apprécier les quantités qui échappent à la vue ordinaire de l'homme. Ce calcul merveilleux conduit à l'infini, image scientifique de la grandeur divine. ”

“ Parmi ceux qui cultivent les sciences mathématiques, personne n’a la prétention de comprendre le calcul différentiel ou la mécanique rationnelle avant de connaître les méthodes les plus simples du calcul. ”

“ L'enseignement du calcul comprend la connaissance des nombres simples, leur représentation par les chiffres arabes, l'addition et la soustraction enseignées à l'aide du boulier-compteur, la table de multiplication apprise de mémoire à l'aide des chants, l'explication des poids et mesures à l'aide de solides ou de tableaux. ”

“ Si nous plaçons au début de chaque problème une convention explicite, tout ira bien, nous n’aurons plus qu’à appliquer les règles de l’arithmétique et de l’algèbre et nous irons jusqu’au bout du calcul sans que notre résultat puisse laisser place au doute ”

“ Calcul, se prend aussi pour la pierre qui se forme dans nos corps. Le calcul est un corps solide & dur, coagulé en forme de pierre, d’une humeur terrestre & saline, causant de la stupeur, des obstructions & des distentions. ”

“ LEÇONS ÉLÉMENTAIRES D'ARITHMÉTIQUE RAISONNÉE.
1 PREMIERE PARTIE.
NOTIONS PRÉLIMINAIRES.
1. Les mathématiques sont la science des grandeurs.
— On appelle grandeur tout ce qui peut être augmenté ou diminué; ainsi la longueur, la surface, le volume d'un corps, le poids , la vitesse, le nombre, etc., sont des grandeurs; et un donne un nom différent à chacune des parlies des sciences mathématiques, selon l'espèce de grandeur dont elle traite. ”

“ Pense-t-on, par exemple, que celui qui étudie l’arithmétique aura une idée beaucoup plus exacte de la science du calcul, lorsqu’on lui aura révélé que le nom de cette science vient du mot latin Calculus ? ”

“ Ses principes mathématiques, où règne une physique toute nouvelle et toute vraie, sont fondés sur la découverte du calcul qu’on appelle mal à propos de l’infini, dernier effort de la géométrie, et effort qu’il avait fait à vingt-quatre ans. ”

“ Elle est plus générale qu’une formule, qui n’en est qu’un cas particulier ayant une application pratique bien déterminée ; l’expression algébrique peut n’être qu’une simple phase du calcul, n’ayant d’autre utilité que de préparer les calculs qui suivent. ”

“ L’enseignement du calcul serait plus satisfaisant, si les maîtres, faisant servir leurs leçons au développement de l’esprit des écoliers, savaient, par un raisonnement court et clair, démontrer aux élèves quelle opération il faut faire pour résoudre tel ou tel problème, etc. ”

“ Pour la même raison vous deviez être séduit par les propriétés des fonctions elliptiques et par cette facilité presque mystérieuse avec laquelle on en déduit des théorèmes arithmétiques. L'étude de la transformation et celle des équations modulaires vous ont fourni une riche moisson de découvertes. Vous y rattachiez d'abord le problème du nombre des classes, qu'abordait en même temps un savant dont l'Europe déplore la perte récente; puis la résolution de l'équation du cinquième degré, cette belle conquête dont l'Algèbre est redevable à l'Analyse. ”

“ Prenez un polynôme quelconque de la forme
étant un nombre entier positif, moindre d’une unité que le nombre qui exprime le degré de l’équation demandée. Multipliez ce polynôme par moins ou plus une quantité réelle et connue ; et égalez le produit à zéro. Le problème sera résolu ; car, en premier lieu, l’équation ainsi formée est nécessairement du degré qui, par hypothèse, est le degré prescrit ; et, en second lieu, l’une des deux quantités ou est évidemment racine de cette équation.
10. Corollaire. Il y a, dans tous les degrés, une infinité d’équations qui ont au moins une racine réelle. ”

“ Je forme des voeux afin qu'un jeune homme qui manifeste une aussi grande puissance de calcul, applique cette rare faculté a élever de plus en plus son intelligence et pour devenir un des ornements de la science et de son pays. ”

“ À la vérité, l'esprit de calcul tend de nos jours à s'introduire dans cette étude, surtout en ce qui concerne les questions médicales, par une voie beaucoup moins directe, sous une forme plus spécieuse, et avec des prétentions infiniment plus modestes. ”

“ Les équations et les formules par lesquelles les mathématiciens expriment les relations entre les diverses grandeurs, constituent un mode de raisonnement très abrégé, très utile à connaître, mais qui présente, surtout au début de l’enseignement, l’inconvénient de faire perdre de vue la nature des faits sous les transformations des signes qui les représentent. ”

“ Vous trouvez naturel, Messieurs, que la parole vous révèle les mathématiques, bien que vous les possédiez tout entières dans les notions primordiales d'unité, de nombre , d'étendue , de pesanteur : pourquoi vous semblerait-il étrange que la parole vous fit apercevoir aussi les notions d'unité, de nombre, d'étendue, de pesanteur, qui sont la base des mathématiques ? L'un des phénomènes n'est pas plus singulier que l'autre ”

“ Le calcul mathématique leur sert à interpréter les données de l’expérience, et au besoin à les compléter : mais ils ne se demandent pas quelle est la nature, quels sont les titres de cette interprétation. ”

“ Si toutes les mesures avaient été divisées en parties décimales, on aurait vu, dans les dénominations de chacune, comment on en doit faire le calcul, et cette découverte eût été à la portée de tout homme intelligent. ”

“ Ainsi il découvrira le pourquoi du calcul écrit, mais en le vérifiant par le calcul d'objets ou en le préparant toujours par le calcul mental, — calculs qui doivent être les premiers en date, comme ils sont les plus importants dans la vie ordinaire.
A la fin du livre, l'habitude sera prise : l'enfant considérera les chiffres comme la figure connue de choses réelles qui l'ont intéressé, et il pourra imaginer et compter des quantités de plus en plus grandes, sur lesquelles il opérera d'après les règles qui lui sont familières pour les petits nombres. ”

“ Le calcul s’apprend d’une façon concrète. Chaque école a une boutique où les enfants qui ont déjà quelques notions du nombre apprennent à résoudre des problèmes. En pesant avec trois sortes de poids, grammes, livres et kilogrammes, ils apprennent les quatre opérations arithmétiques. ”

“ Le savant qui veut retenir le résultat d'un calcul qu'il pourrait être appelé à refaire, ou simplement pour fixer dans son esprit une loi importante, transforme ce résultat ou cette loi en une formule qu'il n'oubliera plus. ”

“ Parcourez le cercle des sciences, et vous verrez qu'elles commencent toutes par un mystère: le mathématicien tâtonne sur les bases du calcul des quantités imaginaires, quoique ses opérations soient très justes; il comprend encore moins le principe du calcul infinitésimal, l'un des instruments les plus puissants que Dieu ait confiés à l'homme... ”

“ Quand les équations d'un système ont été par l'élévation au carré, ou par tout autre procédé, ramenées à une forme telle que tous les constituants qui se trouvent dans leur expansion aient des coefficients positifs, toute équation dérivée, obtenue par élimination, possédera le même caractère et pourra être combinée par addition avec les autres équations ”

“ Les perfectionnemens généraux introduits depuis un siècle dans le système total de l'analyse mathématique ont eu pour caractère principal d'utiliser à un degré immense ce peu de connaissances acquises sur le calcul des fonctions directes, au lieu de tendre à les augmenter. Ce résultat a été obtenu à un tel point, que le plus souvent ce calcul n'a de rôle effectif dans la solution complète des diverses questions que par ses parties les plus simples, celles qui se rapportent aux équations des deux premiers degrés, à une seule ou à plusieurs variables. ”

“ Je ne présente ici aucune ligne de calculs, parce que je n'entends procéder maintenant que par l'arithmétique du raisonnement', et non par celle des chiffres. Ce sont les principes qui servent de bases aux calculs; d'accord sur les bases, le travail des chiffres et leur application sont à la portée de tout le monde. ”

“ Ce n'est souvent qu'à l'aide d'un long travail, dans lequel la réflexion doit toujours être le guide du calcul, mais où celui-ci peut à son tour provoquer la réflexion, que nous parvenons à obtenir la connaissance complète de la constitution d'une expression analytique et à l'apprécier dans toute la nécessité de ses causes, dans toute l'étendue de ses effets. ”

“ Vous saurez vite compter en faisant avec soin les exercices de calcul mental et de calcul écrit qui terminent ce petit livre.
Et pour ne pas fatiguer votre attention en l'occupant trop longtemps de la même chose, vous ferez tous les jours un peu de lecture, d'écriture, d'orthographe et de calcul. Cette marche vous fera faire de rapides progrès.
Seulement rappelez - vous toujours ce proverbe : La paresse rend tout difficile, le travail rend tout aisé. ”