Calcification

“ Dans la nouvelle Géométrie, il y a le calcul différentiel, & le calcul intégral. Calculus differentialis, calculus integralis. Le calcul différentiel, est la méthode de différentier les quantités ou grandeurs ; c’est-à-dire, la méthode de trouver une quantité infiniment petite, qui prise une infinité de fois, égale une quantité ou grandeur donnée. Ce que nous appelons différences, les Anglois l’appellent fluxions. Le calcul intégral, est la manière de former les différences, c’est-à-dire, la somme ou la grandeur égale à une infiniment petite donnée, prise une infinité de fois. ”

“ Pour extraire la racine carrée d'une fraction dont aucun terme n'est un carré parfait, multipliez les deux termes par le dénominateur, puis extrayez la racine carrée de la fraction qui en résulte, d'après la règle donnée pour le second cas, et vous aurez la racine carrée de la fraction proposée à moins d'une partie de l'unité de l'espèce marquée par le dénominateur ; ou, ce qui revient au même, multipliez le numérateur par le dénominateur, extrayez la racine carrée du produit à moins d'une unité, et donnez à cette racine, le dénominateur de la fraction proposée. ”

“ Ses principes mathématiques, où règne une physique toute nouvelle et toute vraie, sont fondés sur la découverte du calcul qu’on appelle mal à propos de l’infini, dernier effort de la géométrie, et effort qu’il avait fait à vingt-quatre ans. ”

“ Le calcul mathématique leur sert à interpréter les données de l’expérience, et au besoin à les compléter : mais ils ne se demandent pas quelle est la nature, quels sont les titres de cette interprétation. ”

“ Les nombres concrets décimaux, dont le calcul est fondé sur la théorie arithmétique des nombres abstraits de même sorte, sont généralement désignés sous le nom de mesures.
Une mesure est un objet pris par convention, comme unité ou terme de comparaison pour former des grandeurs ou des collections d'unités de même espèce.
Mesurer une chose, c'est donc la comparer avec l'unité de même nature qu'elle.
Pour les besoins les plus ordinaires de la vie, on peut avoir à mesurer: 1° la longueur ou distance : 2° la surface ou superficie; 3° le volume ou solidité ; 4° le poids ”

“ Mais, quelques suppositions qu'on fasse, les méthodes de calcul, toujours les mêmes au fond, ne paraîtront différentes qu'à ceux qui les observeront superficiellement. Qu'importe en effet de compter par dixaines, par douzaines, par vingtaines, si toujours, d'après les mêmes règles, on fait les mêmes opérations? Tout l'art consiste à ouvrir et à fermer les doigts dans différents ordres, ce qui s'exécute de la même manière, quel qu'en soit le nombre.
Aux doigts on substitue d'autres signes, qui étant plus simples les uns que les autres, portent la méthode à différents degrés de simplicité. ”

“ La Géométrie et la Mécanique sont deux branches de la Physique mathématique qui étudient deux propriétés distinctes de la matière, l'étendue et le mouvement. L'Algèbre, le Calcul différentiel, ne sont que les instruments analytiques, indispensables, inséparables, de toutes les théories physiques, ceux qui conduisent aux lois les plus générales des phénomènes qu'on étudie. Le Calcul intégral, traité isolément, est un non-sens, car chacun de ses progrès a son origine naturelle dans une application. ”

“ Le calcul des valeurs, ou l'arithmétique, paraît, au premier abord, devoir présenter un champ aussi vaste que celui de l'algèbre, puisqu'il semble devoir donner lieu à autant de questions distinctes qu'on peut concevoir de formules algébriques différentes à évaluer. Mais une réflexion fort simple suffit pour montrer que le domaine du calcul des valeurs est, par sa nature, infiniment moins étendu que celui du calcul des fonctions. ”

“ Le moyen d’introduire les rapports mathématiques dans les proportions si variables des élémens. Pourquoi enfin la physiologie est-elle si peu avancée ? pourquoi son mouvement est-il irrégulier, ses résultats peu précis, ses inductions conjecturales ? C’est que la vie dans son mouvement libre et divers, dans ses brusques variations, se dérobe aux prises du calcul. Mais quoi ! le calcul ne finira-t-il point par dompter la vie, par lui imposer ses lois ? Le calcul a fait des conquêtes non moins extraordinaires : par la théorie des probabilités, il s’est pour ainsi dire asservi le hasard ”

“ Et pourtant cette rencontre du calcul et de l’expérience produit toujours, même chez les plus endormis, une attente et un ravissement. C’est par là qu’est sensible la puissance des mathématiques, même dans les choses les plus simples ; et c’est un moyen d’intéresser les passions au calcul. ”

“ Une dernière classe importante d'applications du calcul aux différences finies, qui mérite d'être distinguée de la précédente, consiste dans l'usage éminemment utile qu'on en fait, en géométrie, pour déterminer par approximation la longueur et l'aire de quelque courbe que ce soit, et, de même, la quadrature et la cubature d'un corps ayant une forme quelconque. ”

“ On met à l'ordinaire, chaque problème en équation, en regardant toutes les quantités sur lesquelles on établit le raisonnement, comme des quantités absolues. Ces équations primitives formées, on les regarde comme immédiatement applicables à tous les états dans lesquels le système peut se trouver successivement, en se réservant de faire dans le résultat même du calcul, les modifications nécessaires pour chaque cas particulier. ”

“ Pense-t-on, par exemple, que celui qui étudie l’arithmétique aura une idée beaucoup plus exacte de la science du calcul, lorsqu’on lui aura révélé que le nom de cette science vient du mot latin Calculus ? ”

“ Le calcul infinitésimal et différentiel permet d'apprécier les quantités qui échappent à la vue ordinaire de l'homme. Ce calcul merveilleux conduit à l'infini, image scientifique de la grandeur divine. ”

“ On vient de voir comment on peut s’en servir pour démontrer les règles de l’addition et de la multiplication, c’est-à-dire les règles du calcul algébrique ; ce calcul est un instrument de transformation qui se prête à beaucoup plus de combinaisons diverses que le simple syllogisme ; mais c’est encore un instrument purement analytique et incapable de rien nous apprendre de nouveau. Si les mathématiques n’en avaient pas d’autre elles seraient donc tout de suite arrêtées dans leur développement ”

“ Les chiffres de notre tableau expriment le résultat obtenu par le procédé de calcul le plus simple : toute erreur de règle compte pour un point, toute faute d’usage pour un point aussi, et on ne marque jamais plus de deux points pour un seul mot. ”

“ À l’aide du calcul différentiel, le mathématicien saisit les questions de toute nature dans leurs vrais éléments, dans leur essence intime ; il sonde ainsi, sans jamais laisser de lacune derrière lui, les plus secrets replis des phénomènes naturels. Le calcul différentiel fournit à de simples écoliers les moyens de résoudre, d’un trait de plume, des problèmes devant lesquels l’ancienne géométrie restait impuissante, même dans les mains d’un Archimède. ”

“ Parmi ceux qui cultivent les sciences mathématiques, personne n’a la prétention de comprendre le calcul différentiel ou la mécanique rationnelle avant de connaître les méthodes les plus simples du calcul. ”

“ Il est tout naturel que les doigts aient été les premiers auxiliaires de la mémoire dans l'enfance de l'art de calculer. La raison ne nous le dirait pas, que nous en trouverions encore la preuve dans l'habitude qu'ont eue tous les peuples, moins les anciens Chinois et une peuplade obscure dont parle Aristote, de distribuer leurs nombres en périodes composées chacune de dix unités. En principe, le calcul décimal est donc aussi vieux que le monde, et notre honneur se borne à l'avoir appliqué à tout ce que nous appelons poids, étendue, etc. ”

“ Quoique la manière d'écrire et d'énoncer les nombres entiers soit nécessairement familière à ceux qui abordent l'étude théorique de l'arithmétique, ce système de numération a une telle importance dans l'art de faire les calculs, qu'il est essentiel d'en indiquer avec soin les principes. ”

“ L’identité du calcul décimal et de celui des nombres entiers ne laisse aucun doute sur les avantages de la division de toutes les espèces de mesures en parties décimales ; il suffit, pour s’en convaincre, de comparer les difficultés des multiplications et des divisions complexes avec la facilité des mêmes opérations sur les nombres entiers, facilité qui devient plus grande encore au moyen des logarithmes, dont on peut rendre, par des instruments simples et peu coûteux, l’usage extrêmement populaire. ”

“ Prenez un polynôme quelconque de la forme
étant un nombre entier positif, moindre d’une unité que le nombre qui exprime le degré de l’équation demandée. Multipliez ce polynôme par moins ou plus une quantité réelle et connue ; et égalez le produit à zéro. Le problème sera résolu ; car, en premier lieu, l’équation ainsi formée est nécessairement du degré qui, par hypothèse, est le degré prescrit ; et, en second lieu, l’une des deux quantités ou est évidemment racine de cette équation.
10. Corollaire. Il y a, dans tous les degrés, une infinité d’équations qui ont au moins une racine réelle. ”

“ Depuis longtemps on ressentait le besoin d'un système de mesure uniforme, qui pût être facilement adopté par les différentes nations, et qui fit disparaître les complications et les longueurs qu'amène le calcul sur les nombres complexes. ”

“ Eh bien ! dès qu'il fut posé, la solution fut donnée. L'interrogateur était M. Courtial, examinateur des écoles spéciales et professeur de mathématiques à l'école industrielle de la rue de Charonne.
Or voici toute son opération;—les mathématiciens pourront en chercher les causes ; ce n'est pas dans une biographie que j'en puis faire la démonstration. —Prenez le dénominateur de la fraction, retranchez-en un : vous avez le nombre de personnes. Multipliez ce nombre par le nombre de litres pris par le premier, c'est-à-dire par 100, et vous aurez vos quantités égales prises par chacun. ”

“ Par l'ensemble des considérations indiquées dans cette leçon, on voit que, si le calcul différentiel constitue, de sa nature, un système limité et parfait auquel il ne reste plus à ajouter rien d'essentiel, le calcul intégral proprement dit, ou le simple traité de l'intégration, présente nécessairement un champ inépuisable à l'activité de l'esprit humain, indépendamment des applications indéfinies dont l'analyse transcendante est évidemment susceptible. ”

“ On sait le calcul différentiel lorsque l'on sait différentier toutes les fonctions connues; on a ensuite les applications du calcul différentiel à telles ou telles questions. De même l'élève sait la géométrie descriptive, lorsque tout ce qui dans cette science est relatif au point, à la droite et au plan lui est connu ; le reste n'est plus que l'application des méthodes de la géométrie descriptive à la solution de telles ou telles questions. ”

“ Ainsi il découvrira le pourquoi du calcul écrit, mais en le vérifiant par le calcul d'objets ou en le préparant toujours par le calcul mental, — calculs qui doivent être les premiers en date, comme ils sont les plus importants dans la vie ordinaire.
A la fin du livre, l'habitude sera prise : l'enfant considérera les chiffres comme la figure connue de choses réelles qui l'ont intéressé, et il pourra imaginer et compter des quantités de plus en plus grandes, sur lesquelles il opérera d'après les règles qui lui sont familières pour les petits nombres. ”

“ Dans la géométrie élémentaire, l’arithmétique, la statique et plus généralement dans toutes les sciences où l’on fait usage de la méthode synthétique, en allant du simple au composé, on prend pour point de départ ces éléments, axiomes ou définitions, et on s’élève de proche en proche, jusqu’aux propositions les plus complexes... ”

“ Or, il y a le même nombre de termes de part et d'autre.
Concluons de là qu'un terme quelconque de la progression géométrique aura toujours pour correspondant, dans la progression arithmétique, un terme qui contiendra la raison de celle-ci autant de fois
que la raison de la première est facteur dans le terme quelconque dont il s'agit. ”

“ En s'exerçant à résoudre les problèmes par l'emploi des deux méthodes, on acquerra- une grande facilité : k méthode de l'unité exerce à l'analyse, et dispense souvent des proportions, la méthode des proportions est plus nécessaire pour les calculs géométriques., et elle a aussi l'avantage de représenter, par autant de formules qu'il, y a de proportions simples, chacun des raisonnements analytiques qu'il a fallu faire. ”

“ Les angles eux-mêmes peuvent être obtenus, au moyen des tables trigonométriques à cinq décimales, avec une exactitude de 3' à 4" sexagésimales, ce qui suffit dans l'enseignement.
La règle à calcul donne un moyen rapide et portatif d'exécuter avec approximation une foule de calculs pour lesquels on n'a pas besoin d'une grande exactitude. On en doit rendre l'usage familier aux élèves, en ce qui concerne la multiplication et la division, comme le prescrit le programme. ”

“ On demande à combien pour ou à quel denier on compte les intérêts successifs ?
J'observe, que lorsque l'on met ainsi intérêt sur intérêt ; il arrive que les capitaux d'année en année, font entr'eux une progression géométrique ; par exemple, comme de 10 à 11, de 20 à 21, de 25 à 26 ; si l'intérêt est le denier 10, 20, ou 25. (On nomme Progression géométrique, une fuite de grandeurs, ou de nombres, qui gardent entr'eux une égale proportion) . En telle forte, que le premier étant la moitié, le tiers, ou le quart du second. Le second, est la moitié, le tiers, ou le quart du troisiéme, &c. ”

“ L'Astronomie y trouve des ressources infinies ; & la Géométrie, ne peut presque s'en passer.
La commodité du calcul, & celle que donne le choix d'une Progression arithmétique quelconque, a fait préferer à toute autre, la progression décimale ; c'est-à-dire, celle ou chaque nombre est décuple de celui qui le précéde : & nous donnons à la progression arithmétique, une fuite immédiate des nombres naturels, commençant par zéro. Ainsi, 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9, &c. Et par ce moyen, le Logarithme de 1, est zéro ”